PSI* 10-11

SUITES CONVEXES ET QUASI-CONVEXES (D’APRÈS CENTRALE 1979)

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PROBLÈME : Suites convexes et quasi-convexes (d’après CENTRALE 1979)

À toute suite de nombres complexes a = (a n )n ∈ on associe les suites définie sur b n = a n−1 − a n

cn =

a1 + a2 + ··· + an n ∗

¡

par les relations

d n = a n−1 + a n +1 − 2a n .

— On dit que (a n ) est à variations bornées si la série b n est absolument convergente.
— On dit que (a n ) est quasi-convexe si la série nd n est absolument convergente.
— On dit que (a n ) est convexe si elle est à valeurs réelles et si le réel d n est positif ou nul pour tout n
1
est une série divergente (série de Bertrand).
On admettra (sans démonstration), que la série n ln n

1.

PRÉLIMINAIRES
0.1 Montrer que, si (a n ) est à variations bornées alors (a n ) est convergente.
0.2 Prouver l’égalité, valable pour tout entier N :
N

N

n dn = n =1

b n − Nb N+1 . n=1 PARTIE I
Dans cette partie, (a n ) est une suite réelle.
I.1 Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur la suite (b n ) , pour que la suite (a n ) soit convexe.
I.2 On suppose dans cette question, qu’il existe une fonction réelle f , de classe positive ou nulle sur ∗ , telle que a n = f (n) pour tout n .
+

2

sur

+,

à dérivée seconde

Démontrer que (a n ) est convexe.

I.3 Déterminer toutes les suites convexes (a n ) telles que la suite a définie par les relations a n = −a n soient également convexes.
I.4 Déterminer les valeurs du réel strictement positif α telles que la suite de terme général a n = n α soit convexe. I.5 Pour tout réel x , on note x la partie entière de x , c’est à dire l’unique entier relatif tel que x
On adopte, dans cette question, a n = n α où α est un réel strictement positif.

x < x +1 .

3
?
2
(On pourra examiner le cas n = 9 en s’aidant d’une calculatrice ; toutefois, le raisonnement figurant sur la copie devra exclure toute valeur approchée et ne