Utilisation de la transformée de Laplace

Exercice 1 : Réponse à un échelon d’un circuit LC i(t) vE(t)

Soit le circuit ci-contre.
Les conditions initiales sont nulles : vS(0) = 0V et i(0) = 0A

L
C

vS(t)

Expression de V S (p) à partir d’une équation différentielle
1. Rappeler les relations reliant tension et courant pour une inductance et un condensateur dans le cas d’un régime quelconque.
2. Calculer l’équation différentielle exprimant la tension vS(t) en fonction de vE(t) et des éléments du circuit LC ci-dessus
3. En déduire la transformée de Laplace de l’équation différentielle, puis l’expression de VS(p) en fonction de VE(p) et des éléments du circuit.

Expression de V S (p) à partir d’une équation différentielle
4. Tracer le schéma opérationnel du circuit et en déduire l’expression de VS(p) en fonction de
VE(p), L et C.

Calcul des expressions i(t) et v S (t)
La tension vE(t) est un échelon de niveau E.
5. Donner l’expression de VS(p).
Déterminer les expressions des coefficients A et B de telle façon à avoir :
( )
6. En déduire l’expression de vS(t) à partir des tables des transformées de Laplace.
7. En déduire l’expression du courant i(t).
E = 5V ; L = 22µH ; C = 47nF ;
8. Calculer ou donner les amplitudes et la fréquence de vS(t) et i(t).
Tracer en concordance de temps les allures de vS(t) et i(t)

Utilisation de la transformée de Laplace

Exercice 2 : Régime transitoire dans un circuit RL k R

E = 12V i(t) R = 220Ω ; r = 8Ω

r
E

D
L

L = 47mH
D : diode se comportant comme un interrupteur

Pour t < 0, l’interrupteur k est fermé et le courant i(t) est constant et égal à I0
A l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur k

1- Calculer i(t) = I0 lorsque t < 0
2- Que vaut i(t) à l’instant t = 0+. Justifier.
3- Tracer le schéma opérationnel du circuit pour t > 0
4- Calculer l’expression du courant I(p)
5- En déduire l’expression de i(t) et tracer son allure
6- Au bout de combien de temps le