Fermat
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RÉFRACTION : PRINCIPE DE FERMAT ET LOI DE SNELL - DESCARTESA
La droite (d) sépare deux milieux homogènes différents.
Dans le premier milieu, la lumière se déplace à la vitesse v1 , et dans le deuxième à la vitesse v2 .
milieu 1
(d)
La question est de savoir quelle trajectoire va emprunter la lumière pour aller du point A (situé dans le premier milieu) au point B (situé dans le deuxième milieu). ? milieu 2
B
A
D’après la loi de Snell-Descartes concernant la réfraction, la lumière va passer par le point C tel que : i1 n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 )
milieu 1
C
n1 et n2 sont les indices de réfraction des milieux et sont c définis par ni = , où c est la vitesse de la lumière dans le vi vide et vi la vitesse de la lumière dans le milieu.
milieu 2 i2 B
Le principe de Fermat, appelé aussi principe du moindre temps, énonce que la lumière se propage entre deux points en suivant la trajectoire qui minimise le temps de parcours.
Nous donnons ci-dessous des démonstrations de l’équivalence entre la loi de Descartes - Snell et le principe de Fermat dans le cas de la réfraction, puis nous étudions plus rapidement le cas de la réflexion.
A
Démonstration analytique
A
Le fichier geogebra avec la figure ci-contre (Fermat-ana.ggb) est à disposition sur le site de l’IREM de Besançon.
a i1 Chercher la trajectoire qui minimise le temps de parcours revient à chercher la valeur de x qui minimise la fonction f définie par f (x) = t1 + t2 , où :
H
x
C
K b i2
B
ti est la durée du trajet dans le milieu i ; x est la distance HC ; la distance HK est notée h.
√
a2 + x2
AC
CB
On a : t1 =
=
et t2 =
=
v1 v1 v2
√
b2 + (h − x)2 a2 + x2
+
.
D’où : f (x) = v1 v2
b2 + (h − x)2
;
v2
La fonction f est définie est dérivable sur son ensemble de définition [0; h], nous allons rechercher son minimum en étudiant le signe de sa dérivée.
√
x u′ +
En utilisant la formule ( u)′ = √ , on obtient : f ′ (x)