fluid

Pages: 12 (2815 mots) Publié le: 12 janvier 2015
FLUID
Physique et Dynamique des Fluides
~~
Cours 6 : Bilan de quantité de mouvement

David le Touzé / Isabelle Calmet
~

2013-14

FLUID - Physique et Dynamique des Fluides

D. Le Touzé – I. Calmet

Centrale Nantes

Rappels sur les théorèmes de transport (cf. MMC)
Volume de contrôle fixe

S2

Vf

Notation: V f volume de contrôle figé dans l'espace

S1

S f surface decontrôle = enveloppe
Sf

Volume de contrôle matériel
Notation: V m (t) se déplace avec le fluide
Chaque point de S m est une particule fluide

V m (t 2 )
V m (t1)
S m (t1)

Volume de contrôle arbitraire dont le déplacement et
la déformation sont  de ceux du fluide qui le traverse

V a (t)

Notation: V a (t) volume de contrôle arbitraire
S a (t) surface de contrôle = enveloppe

Sa (t)

Nécessité de formuler la dérivation particulaire sur un domaine macroscopique
THEOREMES DE TRANSPORT

S m (t 2 )

FLUID - Physique et Dynamique des Fluides

D. Le Touzé – I. Calmet

Centrale Nantes

Notion de bilan intégral
Utilité d’un bilan intégral

Résolution exacte locale = difficile voire (presque toujours) impossible

Détails de la solution locale = souvent nonnécessaires dans les problèmes industriels

=> résolution type « boîte noire » pour les écoulements internes
Principe

(Sp)

Bilan global sur domaine fluide V d’enveloppe S (fermée !)
S  Sp  Ss  Se  Sm

np

np

(Sm)

nm
np

ns

flux
d'entrée

l Sp: parois fixes (conduites, réservoirs...)

ne

(Se)

flux de
sortie

source ou puits
np np
d'énergie mécaniquesource ou puits de chaleur

l Sm: parois mobiles (machines) souvent “exclues”
l Se : sec tions d'entrée 
 choisies nonperturbées("  ", "repos", écoulement parallèle...)
l Ss : sec tions de sortie 

(Ss)

FLUID - Physique et Dynamique des Fluides

D. Le Touzé – I. Calmet

Centrale Nantes

Notion de bilan intégral
Formulation générale du bilan de rf sur V
Variation
temporellede rf
dans V



F  r s fs Vs Ss  r e f e Ve Se   S dV
V





 . n dS   m

Sp Ss Se

Résultat intégral de
l’action des machines
sur Sm

Flux de rf en
entrée et en
sortie

Productions ou destructions volumiques et surfaciques (sauf Sm) :
dépendent de ρf

(Sp)

np

np
nm

(Sm )
np

ns

flux
d'entrée

np
ne

(Se )

flux de
sortie

sourceou puits
d'énergie mécanique
np
source ou puits de chaleur

(Ss )
VOLUME DE CONTRÔLE

FLUID - Physique et Dynamique des Fluides

D. Le Touzé – I. Calmet

Centrale Nantes

Bilan de quantité de mouvement
Intérêt de ce bilan
On a vu que pour un écoulement isovolume



le bilan de masse se traduisait par la conservation du débit,



le bilan d’énergie se traduisait parl’évolution de la charge dans un tube de courant, fonction des
pertes et gains d’énergie mécanique (sous certaines hypothèses)

Le bilan de quantité de mouvement, quant à lui, va nous permettre d’accéder aux efforts exercés par le
fluide sur les parois d’un solide, ou réciproquement.

Forme locale de la conservation de la quantité de mouvement
r V
 div(r V  V) r g  grad P  div 
t
grad P*Sp

+ théorèmes de la divergence et du gradient

Ss

Vf

ns

Se
Intégration sur un volume fixeVf d’enveloppe Sf

ne

r V
*
 t dV   (r V) V . n dS    P n dS    . n dS

Vf

Sf

Sf

Sf

np

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D. Le Touzé – I. Calmet

Centrale Nantes

Bilan de quantité de mouvement
Intégration sur un volume fixeVfd’enveloppe Sf
Sp

r V
*
 t dV   (r V) V . n dS    P n dS    . n dS

Vf

Sf

Sf

Vf

ns

Se

Sf

Ss

ne

Vf est fixe 



Vf

np




r V dV 

t  
V f


Variation temporelle de la quantité de mouvement dans V, notée P


et
sont commutables 
t



P   (r V) V . n dS



Sf

  P* n dS    . n dS
Sf...
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