LES FONCTIONS USUELLES
Chapitre 2

Les fonctions les plus simples sont celles que l’on peut construire à partir de la variable en utilisant des opérations élémentaires (addition, multiplication etc.), notammment les polynômes et fractions rationnelles. En ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d’équations polynômiales, on obtient des 1 fonctions plus variées, comme par exemple x → √ . Toutes ces fonctions sont dites 1 + x2 algébriques, les manipulations polynômiales relevant du domaine de l’algèbre générale. Mais de telles fonctions ne suffisent pas pour les besoins de l’analyse. Pour la résolution d’équations différentielles par exemple (une tâche fondamentale en physique), ou même simplement pour trouver des primitives, il faut construire de nouvelles fonctions : le 1 logarithme népérien comme la primitive de x → s’annulant en 1 n’est pas le seul x 1 1 , ou même de ? exemple : quelles sont les fonctions primitive de x → √ 2 1 + x2 1+x C’est ce que nous allons découvrir dans ce chapitre. Les fonctions étudiées ici ne sont pas algébriques, on dit qu’elles sont transcendantes. Beaucoup d’entre elles ont des dérivées très simples (algébriques), et sont donc essentielles dans la recherche de primitives. D’autre part, elles interviennent dans de nombreux domaines scientifiques.

I
I.1

Généralités sur les fonctions
Définitions

Définition I.1 Une application f est définie par la donnée de trois objets : un ensemble de départ E, un ensemble d’arrivée F et, pour tout élément x de E, la donnée d’une unique image notée f(x). L’ensemble des applications de E dans F est noté F (E; F ) ou bien F E .

Les ensembles de départ et d’arrivée font partie de la spécification d’une application. Les changer revient à considérer de nouvelles applications. R → R [0, π] → R R → [-1 ;1] Ainsi, f : g : h : sont trois applications x → cos x x → cos x x → cos x deux à deux distinctes. Définition I.2 (Graphe d’une fonction) Soit f : E → F