´ Paris-Diderot
Universite
`bre et Analyse Ele
´mentaires
Alge
Semestre 1

Fonctions usuelles

Section C
2014-2015

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Quelques caract´ eristiques d’une fonction
D´
efinition 0.1. Une fonction d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles est une application f : A → R o` u A est une partie de R.
Domaine de d´ efinition Il arrive que l’on donne une fonction par une expression alg´ebrique explicite, sans pr´eciser l’espace de d´epart de l’application. Dans ce cas on appelle domaine de d´efinition de la fonction f l’ensemble, not´e Df , √ des ´el´ements de R pour lesquels l’expression alg´ebrique a un sens. Exemples : f (x) = x − 1 a pour domaine de d´efinition
1
Df = [1, +∞[ ;f (x) = x+1 a pour domaine de d´efinition Df = R {−1}.
Plus g´en´eralement, le domaine de d´efinition de la fonction f est l’espace de d´epart de f vue comme une application de Df dans R.
Graphe d’une fonction On appelle graphe d’une fonction f : Df → R le sous-ensemble de R2 d´efini par G(f ) = {(x, y) ∈ R2 |x ∈ Df , y = f (x)}. On peut repr´esenter graphiquement le graphe d’une fonction en tra¸cant la courbe y = f (x) dans le plan R2 . Le graphe d’une fonction intersecte toute droite verticale en au plus un point.

y
4
3
2
1
−1

−1

1

2

x

−2
Figure 1 – Graphe d’une fonction
Parit´
e Si le domaine de d´efinition Df d’une fonction f est sym´etrique par rapport `a 0 (c’est `a dire que si x ∈ Df , alors −x ∈ Df ), alors on dit que f est
— paire si pour tout x ∈ Df , on a : f (−x) = f (x) ;
— impaire si pour tout x ∈ Df , on a : f (−x) = −f (x).
On remarque que le graphe de f est
— invariant par la sym´etrie par rapport `a l’axe (Oy) si f est paire ;
— invariant par la sym´etrie centrale de centre O si f est impaire.
On peut donc d´eterminer le graphe complet de f en le connaissant sur Df ∩ R+ . Exemples : la fonction f (x) = x2 est paire ; la fonction f (x) = x3 est impaire.
P´
eriodicit´ e On dit qu’une fonction f : Df → R est p´eriodique s’il existe T > 0 tel que f (x+T ) = f (x) pour tout x ∈