Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note Ωx l'orbite de x. |G| Pour tout élément x de E, |Gx | = Card Ωx donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = 1 |G| x∈E Card Ωx . En regroupant les éléments de E suivant leur orbite, on a g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Card Ωx |G| x∈R Card Ωx = |G|n où R est un ensemble de représentants des orbites de E et n est le nombre d'orbites de E. 1 Le nombre d'orbites de E est donc égal à |G| g∈G Card {x∈E / g.x=x}. Exercice 2 : Soit G un groupe ni non réduit à l'élément neutre. Soit p le plus petit nombre premier divisant |G|. Montrer que tout sous-groupe H de G d'indice p (c'est à dire tel que [G :H]=p) est normal dans G. Indication : Considérer l'opération par translations à gauche de H sur l'ensemble quotient (G/H)g de G par la relation H R. Corrigé : G opère sur (G/H)g par translations à gauche : g.(g'H)=gg'H. D'où, comme H est un sous-groupe de G, H opère sur (G/H)g par translations à gauche. Soient Ω1 , ... , Ωn les orbites de (G/H)g pour cette opération. |H| Soit i compris entre 1 et n. Card Ωi = |Hx H | où xi H est un représentant de Ωi donc i le cardinal de Ωi divise l'ordre de H. H est un sous-groupe de G donc l'ordre de H divise l'ordre de G par le Théorème de Lagrange. Ainsi, le cardinal de Ωi divise p. p étant premier, le cardinal de Ωi vaut soit 1 soit p Comme les orbites forment une partition de (G/H)g et Card (G/H)g = [G : H] =p, on a p= n Card Ωi . i=1 Si il existe un entier i compris entre 1 et n tel que Card Ωi =p alors Ωi est la seule orbite de (G/H)g et donc toute orbite de