P.C.S.I.1

Devoir en temps limit´ n◦ 7. e

Mercredi 9 f´vrier 2011 de 13 ` 16h. e a

Une fois encore, les calculatrices sont interdites.
Exercice 1
1. Question de cours (a) Lorsque f est un projecteur, exprimer ses ´l´ments caract´ristiques sous forme de noyaux d’endomoree e phismes d´pendant de f . e (b) Mˆme question lorsque f est une sym´trie. e e     − y − 3z  x          2. Soit f l’endomorphisme de R3 d´fini par y  →  2x + 3y + 6z . e             z −x − y − 2z   x     (a) Pour tout X = y  ∈ R3 , calculer f ◦ f (X).       z (b) En d´duire la nature de f . e (c) D´terminer les ´l´ments caract´ristiques de f en donnant pour chacun d’eux une base. e ee e

Exercice 2

    x x      3 qui ` tout ´l´ment X =  y  de R3 associe X =  y  d´fini par     e Soit f l’endomorphisme de R a ee             z z  5x + 3y − 3z  x = y = − x − y + z  z = 5x + 3y − 3z On note C = (e1 ,e2 ,e3 ) la base canonique de R3 . 1. (a) Montrer que Ker(f ) est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me e coordonn´e ´gale ` 1. On notera u1 ce vecteur. e e a (b) Donner la dimension et une base de Im(f ). 2. (a) Montrer que {X ∈ R3 / f (X) = 2X} est une droite vectorielle dont donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me coordonn´e ´gale ` 1. On notera u2 ce vecteur. e e e a (b) Montrer que Ker(f + IdE ) est aussi une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant (encore) sa troisi`me coordonn´e ´gale ` 1. On notera u3 ce vecteur. e e e a ´ 3. (a) Question de cours : Ecrire les vecteurs e1 , e2 , e3 de la base canonique sous forme de colonnes. (b) Montrer que B = (u1 ,u2 ,u3 ) est une base de R3 . (c) Donner les coordonn´es de e1 ,e2 ,e3 dans la base B. e   x     (d) Pour tout vecteur X = y  de R3 , d´terminer les coordonn´es de X dans la base B. e e       z Indication (et question de cours par la mˆme occasion) : Quelles sont d’abord les