Test 02
Faites en sorte que vos raisonnements soient clairs et bien rédigés. Barême indicatif. Durée : 1h – Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Décembre 2009

Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11.

Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42

Exercice 3 [France 2009, 10 points]

Corrigé du test n°2

Exercice 1 – 5 points
8 ≡ 8 (11)

1. Nous savons que 82 ≡ −2 (11) ,
83 ≡ 6 (11)

84 ≡ 4 (11) 85 ≡ −12 (11) ≡ −1 (11)

donc 810 ≡ 1 (11) , d’après les règles usuelles sur les

congruences. 2. Par ailleurs, 2002 = 10 × 200 + 2 donc 82002 = ( 810 ) × 82 et on a alors 82002 ≡ (1)200 × ( −2 ) (11) ≡ −2 (11) ≡ 9 (11) .
200

Il s’ensuit que 82002 + 2 ≡ 9 + 2 (11) ≡ 0 (11) et donc 82002 + 2 est divisible par 11.

Exercice 2 – 5 points 1. Petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et que a est un entier premier avec p alors a p −1 ≡ 1 ( p ) ». 2. Soit donc p un nombre premier et a un entier naturel. Deux cas sont possibles. > a est premier avec p : alors d’après le 1, a p −1 ≡ 1 ( p ) et, soit en multipliant chaque terme par a, a p ≡ a ( p ) . > a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1. Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise a p donc on a bien a p ≡ a ( p ) (car congrus à 0 tous les deux). 3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42 = 2 × 3 × 7 : nous allons prouver que chacun de ces termes divise a 7 − a puis nous allons utiliser une conséquence du théorème de Gauss : (P) : « si (b|n et c |n avec pgcd(b ,c) = 1) alors bc | n ». > Prouvons que 2 divise a 7 − a : 1. soit a est pair cad a ≡ 0 ( 2 ) alors a 7 − a ≡ 0 ( 2 ) donc ce nombre est pair. 2. soit a est impair cad a ≡ 1 ( 2 ) alors a 7 − a ≡ 1 − 1 ( 2 ) ≡