Géométrie
Chapitre 1 : Nombres complexes
1) Introduction

L’objectif est l’introduction d’un nouvel ensemble de nombres (en fait on étend encore l’ensemble des nombres, au-delà des réels) pour résoudre une préoccupation importante. Certaines équations du second degré, comme par exemple , n’ont pas de solution dans .

On introduit alors un nombre noté i tel que
« i » pour « imaginaire » opposée à « réel »

Les nombres complexes vont être obtenus comme toutes les sommes , lorsque et sont des nombres réels.

On veut un ensemble qui ait au moins les propriétés de pour la somme et la multiplication.
Or on peut sommer :
Il y a un élément neutre pour la somme c’est
Chaque élément a un opposé : (

Et bien sur l’addition est associative :

Et pour la multiplication, elle est bien sur associative :

(Ne pas oublier que )
De même pour … même résultat

La multiplication est munie d’un élément neutre qui est 1 et tous les nombres non nuls admettent un inverse.

On cherche tel que

Si on a et alors on résolve (on cherche b)

Et alors
Et si , l’inverse de est d’où l’inverse de est si et l’inverse de
L’ensemble ainsi construit a bien les mêmes propriétés que pour l’addition et la multiplication, celles d’un corps commutatifs (on a aussi la distributivité de la multiplication sur l’addition). Alors on peut utiliser les mêmes méthodes calculatoires : les identités remarquables et on peut résoudre les équations.

Exemple :

-Calculer en fonction de

-Calculer et mettre sous forme ,où et sont des réels, les produits et les sommes suivants :
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Réponses

a)
b)
c)
d)
e)
f)

- Résoudre les équations:
a)
b)

Réponses
a)

b)

Distributivité

Ici

En effet,
Et,

On note , l’ensemble des nombres complexes, c'est-à-dire des nombres qui s’écrivent de manière unique , lorsque et sont des