Les fractales sont des figures invariantes par changement d'échelle (nous parlons aussi de "structures autosimilaires") et sont la représentation graphique de suites récurrentes contractantes (pour les fractales IFS que nous verrons plus loin) ou non divergentes (pour les fractales à temps d'échappement que nous verrons aussi plus loin).

L'idée de base - simple et géniale... à la fois - consiste souvent à prendre un point de départ, de construire son image via une fonction mathématique donnée, de prendre l'image de l'image et ainsi de suite. Le but étant d'étudier comment se répartissent les points successifs dans l'ensemble global, s'ils s'approchent d'une limite ou s'ils errent entre diverses valeurs que nous pouvons expliciter, s'il y a plus de points dans telle partie de l'ensemble que dans telle autre?

L'intérêt de ce type de questions concerne aussi bien l'étude de l'évolution de populations biologiques que celle de l'avenir du système solaire, la 3D en informatique (l'origine étant la génération de montagnes pour des paysages 3D), les variations des cours de la bourse ou la génération de nombres aléatoires dans des domaines particuliers ou encore le domaine du diagnostic médical.

Figure: 58.1 - Génération de pseudo-reliefs à partir d'une fractale aléatoire (probabiliste)

Pour le commun des mortels, les fractales servent à faire joli. Mais elles ont des applications infiniment plus sérieuses: nous avons vu par exemple sur le présent site web que certaines de ces "séduisantes" images reproduisaient des phénomènes physiques (dynamique des populations pour la fractale de Feigenbaum, turbulences dans un fluide pour l'attracteur de Lorentz, dispositions des galaxies, L-Fractales, amas et superamas de galaxies,...). Les fractales ont également trouvé des applications en musique (avec des logiciels générant de la musique fractale) et dans le cinéma (3D). Enfin, dans le domaine de l'infographie, les fractales permettent de compresser très efficacement