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EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉExercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g
Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). Démontrer que la fonction v o u est dérivable sur I et pour tout x Î I : (v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))
Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue Considérons la fonction ¦ définie sur par : æ1ö ¦(x) = x 2 sin ç ÷ si x ¹ 0 et ¦(0) = 0 è xø Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0.
Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].
Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0
n'a pas de solutions sur .
Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t ®0
sin (t ) = 1. Soit n Î . t t ®0
Étudier la limite suivante :
lim
sin (nt ) sin(t )
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité
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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle On considère la fonction ¦ définie sur par : r r On note C¦ sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; i , j ) 1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ? 2. Démontrer que la droite D d'équation y = -2x 1 est asymptote oblique à C¦ en -¥. 2 ¦(x) = x2 + x + 1 - x
Exercice 8