Brevet de technicien supérieur novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie
Exercice 1 12 points π On désigne par α un nombre réel positif tel que 0 < α < . 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 2π, telle que :
  f (t ) f (t )  f (t )

= = =

1 0 −1

si si si

0 t α α < t < π−α π−α t π

1. Dans cette question, le nombre réel α vaut

π . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 2π].
+∞ n=1

2. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f On note S(t ) = a0 + (an cos(nt ) + b n sin(nt )).

Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier S π pour une valeur x quelconque du nombre réel α tel que 0 < α < . 2 a. Calculer a0 , valeur moyenne de la fonction f sur une période. b. Déterminer b n , n désignant un nombre entier naturel strictement positif. c. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a: an = 2 1 − (−1)n sin(nα). nπ π . 3

3. Déterminer la valeur α0 de α pour laquelle on a3 = 0. 4. Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas où α =

Rappels : Si h désigne une fonction périodique de période T , le carré de la valeur efficace H de la fonction h sur une période est : H2 = 1 T r +T r

[h(t )]2 dt .

r désignant un nombre réel quelconque. Si les coefficients de Fourier de la fonction h sont a0 , an et b n alors : 1 T r +T r 2 [h(t )]2 dt = a0 + +∞ n=1 2 2 an + bn

2

formule de Parseval

a. Calculer F 2 , carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période. b. On définit sur R la fonction g par : g (t ) = a0 + a1 cos(t ) + b 1 sin t + a2 cos(2t ) + b 2 sin(2t ). 2 3 cos(t ) pour tout nombre réel t . π c. Calculer G 2 , carré de la valeur efficace de la fonction g sur une période. Montrer que g (t ) =

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A. P. M. E. P.

d. Donner une valeur approchée à 10−3 près du quotient

G2 . F2

Ce dernier résultat montre