Hall f
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Asie, 2001 Sujet Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u ;v ). On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de −1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : −iz − 2 z’ = z + 1 . Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = − i. 1. Soit C’ l’image du point C par f. Donner l’affixe c’ du point C’ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. 1 2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D’ d’affixe d’ = 2 . 3. Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z + 1 et p’ le module de z’+ i. a. Démontrer que pour tout complexe z différent de -1, on a pp’ = 5 . b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M’ = f(M) appartient à un cercle (Γ’), dont on précisera le centre et le rayon. z - 2i 4. Pour tout nombre complexe z différent de −1, on considère le nombre complexe w = z + 1 . a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe w. b. Montrer que z’ = −iw. c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z’ soit un réel non nul. d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).→ → → →
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u ;v ). f est l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de −1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : z’ = −iz − 2 z+1 . Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = − i.
1. Soit c’ l’affixe de f(C) : c’ =
3 3 algébrique est : c’ = −2 − 2 i. Factorisons par |c’| : c’ = c’ =
−ic − 2 −i(−i) − 2 −1 − 2 −3 −3(1 + i) −3(1 + i) donc la forme 2 c + 1 = −i + 1 = −i + 1 = 1 − i = (1 − i)(1 + i) =
3 (cos(−3π/4) + i sin(−3π/4)) 2
3 2 2 (− − 2 i) d’où la forme trigonométrique de c’ est : 2 2
1 −id − 2 1 -5 On résout l’équation : d’ = 2 ⇔ d + 1 = 2 ⇔ −2id −4 = d + 1 ⇔ d(−2i −1) = 5 ⇔ d = 2i + 1 - 5(1 - 2i) - 5(1 - 2i) ⇔ d = (1 + 2i)(1 - 2i) ⇔ d = ⇔ d = −1 + 2i. 5 Donc le point D