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3. Développements limités
On introduit la notion de « développement limité », qui est l’outil principal d’étude d’une fonction au voisinage d’un point. L’objectif est essentiellement d’apprendre à calculer des développements limités. En pratique, on commencera toujours par se ramener, au moyen d’un changement de variable approprié, au voisinage de 0. On consi0

dère donc, dans tout ce qui suit, un voisinage D de 0, contenu dans R, et, on écrit : f = o g au lieu de : f = o g .

1. Existence et unicité
Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un
DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n.
Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0.
Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet un DLn en 0, de partie régulière P , P est pair (resp. impair)
Proposition 3.2 (Existence d’un DL) Toute fonction f : D ⊂ R → R n fois dérivable en 0 (n ≥ 1) admet un DLn en 0.
Exemple 1 : e x = 1 + x +
Exemple 2 :

x2 xn +...+
+ o (x n )
2
n!

1
= 1 + x + x 2 + · · · + x n + o (x n )
1−x

2. Troncatures
Proposition 3.3 Toute fonction polynôme f : R → R : x → P (x) admet en 0 un DL à tout ordre n, dont la partie régulière s’obtient par troncature de P , en supprimant (si nécessaire) du polynôme P tous les monômes de degré strictement supérieur à n.
Exemple 1 : P (x) = (1 + x + 2 x 2 ) (x − 2 x 2 ) ⇒ P (x) = x − x 2 + o x 2
Exemple 2 : Q(x) = (1 + x)4 ⇒ Q(x) = 1 + 4 x + 6 x 2 + o x 2
Exemple 3 : Q ◦ P (x) = 1 + 4 (x − x 2 ) + 6 x 2 + o x 2 = 1 + 4 x + 2 x 2 + o x 2
Donc : Q ◦ P (0) = 4 (Pourquoi ?).

3. DL d’une fonction rationnelle
Proposition 3.4 Toute fonction rationnelle : f : D = R\Q −1 (0) ⊂ R → R : x →

P (x)
, telle que