Les Nombres Complexes

Prérequis:

Coordonnées cartésiennes/polaires dans le plan réel
Trigonométrie (formules + cercle)
Résolution d'équation du second degré
Exponentielles

Introduction:

On donne aux élèves des équations du second degré à résoudre pour d'une part vérifier les acquis et d'autre part introduire la notion de nombre imaginaire.
Ex: x² = 16 (x-2)² = 0 2x² + 1 = 4 x x² = -1
On présente la solution de la dernière équation d'un point de vue historique (conformément au bulletin officiel). C'est à partir de 1547 que l'on s'interrogea véritablement sur la possibilité d'un carré négatif. En effet, c'est pendant cette période que le mathématicien Jérôme Cardan, en étant confronté à une formule du type x^3 = px + q, tomba sur l'équation x² = -121. Il ne trouva aucune solution à cette équation. Ce n'est que par la suite en 1636 que le physicien René Descartes imagine un élément solution de cette équation, le nombre i, élément d'un ensemble appelé ℂ contenant les nombres complexes.
Nous allons donc commencer par construire l'ensemble des nombres complexes.

I Présentation des nombres complexes

1)Ensemble ℂ

Définition: ℂ est l'ensemble des couples (a ; b) avec a et b appartenant à ℝ .

Propriétés: - L'ensemble est muni d'un élément i tel que i² = -1. - L'ensemble est muni de l'addition et de la multiplication. - z ∈ ℂ si z = a +ib. a est appelé partie réelle de z et est notée formule. b est appelé partie imaginaire de z et est notée formule. - L'écriture de z est unique. Soit z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' si et seulement si a = a' et b = b' .

Exemple: Déterminer les parties réelles et imaginaires des nombres suivants :

2 + 2i, 2, i, formule+formule

Activité: Calculatrice scientifique, localisation de l'élément i sur la machine

2) Conjugué et module d'un nombre complexe

Définition: Soient a et b des nombres réels. Le nombre complexe conjugué de z = a + ib est le nombre complexe