ROC 8

-Montrer que pour tous z et z’ de C, |z|^2 = zzbar
|z|=√(x^2+y^2) donc |z|^2=√(x^2+y^2)^2=x^2+y^2
D’autre part : zzbar=(x+iy)(x-iy)=x^2-(-iy)^2=x^2-(-y^2)=x^2+y^2
Conclusion : |z|^2 = zzbar

-Montrer que pour tous z et z’ de C, |zxz’|=|z|x|z’|
|zz’|^2=(zz’)x((zz’)bar)=zz’xzbarz’bar=(zzbar)(z’z’bar)=|z|^2x|z’|^2=(|z|x|z’|)^2
Donc |zz’|=|z|x|z’| car |zz’|≥0 et |z|x|z’|≥0

ROC 9

Soit A et B deux évènements indépendants. Montrer que A et Bbar sont indépendants.
P(A)=p(A(B)+p(A(Bbar) car B et Bbar forment une partition de l’univers
P(A)=p(A)xp(B)+p(A(Bbar)
p(A(Bbar)=p(A)-p(A)xp(B) p(A(Bbar)=p(A)x(1-p(B)) p(A(Bbar)=p(A)xp(Bbar)
Donc A et Bbar sont indépendants

ROC 12

Pré-requis : Pour tous réels a et b strictement positifs ln(ab)=ln(a)+ln(b)

-Montrer que ln(1/b)=-ln(b) ln(ab)=ln(a)+ln(b) Pour a=1/b, on a : ln(1/b x b)=ln(1/b)+ln(b) ln1= ln(1/b)+ln(b) 0= ln(1/b)+ln(b) d’où ln(1/b)=-ln(b) CQFD

-Montrer que ln(a/b)=ln(a)-ln(b) ln(a/b)=ln(a x 1/b) ln(a/b)=ln(a)+ln(1/b) ln(a/b)=ln(a)—ln(b)

-Montrer que ln((a)=0,5 ln((ax(a)= ln((a)+ln((a) ln(a)=2ln((a) Donc ln((a)=0,5ln(a)

ROC 13

Montrer que pour tout n(1, ln(a^n)=nln(a) (a(0)
Soit P(n) la propriété « ln(a^n)=nln(a) »

Initialisation : ln(a^1)=ln(a) et 1ln(a)=ln(a) donc P(1) est vraie

Hérédité :
Soit n un entier quelconque. Supposons que pour cet entier P(n) est vrai, c’est à dire que ln(a^n)=nln(a). Montrons alors que P(n+1) est aussi vraie, c’est à dire que ln(a^(n+1))=(n+1)ln(a)

Démonstration : ln(a^(n+1))=ln(a^n x a^1)=ln(a^n)+ln(a)=nln(a)+ln(a)=(n+1)ln(a)
Donc P(n+1) est vraie

Conclusion : pour tout n(1, ln(a^n)=nln(a)

ROC 14

Pré-requis : lim ln(x), en +∞ = +∞ lim(ln(x)/x), en +∞ = 0

-Montrer que lim ln(x), en 0 = -∞
Posons X=(1/x) x tend vers 0, donc X tend vers +∞

Lim ln(x), en 0 = lim ln(1/X), en +∞ = lim -ln(X), en +∞ = -∞ car lim ln(x), en +∞ = +∞

-Montrer que