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Pages: 2 (387 mots) Publié le: 17 novembre 2013
11/10/2013

MATHEMATIQUES TERMINALE S1

Durée : 1h 20

EXERCICE 1 ( 4 points ) : Récurrence : Les affirmations suivantes sont-elles vraies. Justifier clairement.
a. (Un) est telle que U0 = 1et Un+1 = Un + 2n + 3 pour n0. Alors pour tout n , Un = ( n+1 ) 2
b. « 4 n1  6n  5 est multiple de 9 pour tout n ».
c. La propriété (Pn) : « 34n  1 est un multiple de 5 » est héréditaire.
d. «3n  1 est un multiple de 5 pour tout n  2 ».
EXERCICE 2 ( 6 points )

4n  1
17
est définie sur N et que Un  2 
pour n>4.
2n  9
2n  9
b. p est un entier donné. Déterminer n0  N tel quepour tout n n0, 2 – 10-p ≤ Un ≤ 2+10-p.
c. Interpréter cette valeur de n0. Qu’a-t-on ainsi démontré ? Expliquer.
d. Ecrire un algorithme qui détermine n0 pour une valeur de p ( saisie en débutd’algorithme ) et
l’exécuter sur votre calculatrice. Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
a. Justifier que la suite (Un ) telle que Un 

p
n0

1

2

3

Confronter ces résultats etceux obtenus à partir de la question b. Que donnerait la calculatrice
pour p=5 ? p=8 ?
EXERCICE 3 ( 10 points )
(Un) est la suite définie par U0=1 et par la relation de récurrence Un1  2Un  3 pourtout n.
1. Donner, à 10-2 près par défaut, à partir d’une table des valeurs créée sur votre calculatrice, les 7
premiers termes de cette suite, puis U30 et U50. Conjecturer sur son sens devariation et sa
convergence.
2. Sens de variation : trois démarches différentes :
a. Démontrer par récurrence que pour tout n, Un ≤ Un+1. En déduire le sens de variation de (Un).
b. Démontrer parrécurrence que pour tout n  1, 0 ≤ Un ≤ 3. Exprimer Un+1 - Un en fonction de Un
et étudier son signe. Retrouver le résultat de la question 2.a.
c. Résoudre sur [ 0 ; 3 ] l’inéquation g(x)  x , où g(x) = 2x 3 . Comment peut-on en déduire le
sens de variation de (Un) ?
3. (Un) est-elle convergente ? Justifier. Dans l’affirmative, déterminer sa limite.
4. Soit l’algorithme suivant: ( ; est ici...
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