La fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels

Souvent, beaucoup d’élèves de ma classe de terminale S sont très faibles en mathématiques (cependant qu’ils se débrouillent ou surnagent approximativement dans d’autres disciplines). Je ne peux donc pas fréquemment quitter le strict cadre de la préparation à l’épreuve du baccalauréat et je donne des devoirs (facultatifs) à la maison pour ceux de mes élèves, hélas peu nombreux, qui continueront l’an prochain à étudier les mathématiques ou la physique. Ce qui suit est un exemple d’un tel devoir.
Dans la question 1 on donne une expression analytique de la fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels. Dans la question 2 on montre un des intérêts de cette fonction.

l’ensemble des rationnels

On désigne par IR l’ensemble des réels. On vient de montrer l’existence d’une fonction f, définie pour tout dans IR par f () = ((cos n (m !) ) ).
Un détail à ce sujet est qu’on n’est pas autorisé à intervertir l’ordre des deux limites comme le montre l’exemple : 0 = (()) (()) = 2.
Cette fonction f est parfois appelée fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels car elle indique si un réel est dans Q (alors f () = 1) ou n’y est pas (alors f () = 0).
On se persuade facilement ( ? ) que cette fonction f n’est pas représentable correctement à l’aide d’une calculatrice graphique; en effet, il est clair que sa représentation graphique est contenue dans la réunion des droites d’équations y = 0 et y = 1 mais en supposant qu’on puisse programmer sur une machine les calculs des limites indiquées (ce qui a priori ne semble pas possible ), cette machine donnerait toujours f (x) = 1 puisque les calculatrices ne calculent qu’avec des nombres décimaux donc rationnels.
Cette fonction f a une existence théorique mais elle n’est pas utilisable en pratique; savoir si un nombre est rationnel est parfois extrêmement difficile : on sait depuis la Grèce antique que est irrationnel ( et on peut le prouver