SYSTEME LINEAIRE

Ax=b : un cas simple
A est une matrice diagonale
 a11

 0
 0

 
 0


problème
0 0  0 

 0   
0 aii 0
0 

 0  0 
 0 0 ann 


 x1   b1 
   
  
 x  =b 
 i  i
  
 x  b 
 n  n

solution bi xi = aii Algorithme
Fonction x = diago(A,b) pour i = 1 jusqu' à n bi xi ← aii fait

, i ∈ [1, n]

A est de forme triangulaire
 a11

 
a
 i1
 
a
 n1

0 0
 0
 aii
 
 ani




0 

 
0
0 

 0 
 ann 


Fonction x = triang(A,b)

 x1   b1 
   
   
 x  =b 
 i  i
   
 x  b 
 n  n x1 ←

b1

 x1 = a

1

i −1

1
 xi =  bi − ∑ aij x j 



aii  j =1

 somme b1 a11 pour i = 2 jusqu' à n somme ← bi

fait

pour j = 1 jusqu' à i − 1 somme ← somme − aij x j fait somme xi ← aii Commentaires sur le programme « diago »
• Complexité ? n • Déterminant :

det( A) = ∏ aii i =1

• que se passe t’il si A est triangulaire supérieure ?
• Exercice :

Quels sont les âges d ’Alice, de Louis, Sacha et Gaspar ?
Sachant que trois fois la somme des âges des garçons est égale à la somme des âges des filles, que l’âge d’Alice moins trois fois la somme des âges de Louis et de Sacha est égal à moins neuf, que trois fois l’âge de Louis est égal à vingt sept, et que l’âge de Louis moins deux fois l’âge de Sacha est égal à 3.

Pivot de Gauss
4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque l’on :
1. permute 2 lignes
2. permute 2 colonnes
3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne
4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne

Stratégie : Transformer le système linéaire en un système équivalent … facile à résoudre
Triangulaire !

Pivot de Gauss : un exemple

pivot (1)

2 x1 + 4 x2
 x + 3x
 1
2

3x1 − x2

− x2


− 2 x3
+ x3
+ 2