Chap2 : Eléments d’inertie
EXERCICES de MECANIQUE

Exercice 5 : détermination de la matrice centrale d’inertie d’un cylindre (CORRECTION)
1) Déterminez la matrice centrale d’inertie d’un cylindre de révolution plein et homogène de masse M , de rayon R et de hauteur H.
Détermination de la base centrale d’inertie :
Le repère (G, x, y, z)

est bien le repère central d’inertie du

cylindre. L’axe (G, z) est axe de symétrie donc E=D=0.
De même l’axe (G, x) est axe de symétrie donc F=E=0.

De plus, les axes (G, x) et (G, y) jouent le même rôle dans la répartition des masses. On en déduit que A=B.
On a donc la matrice suivante :

0
0
A = B


IG (S) =  0
B = A 0
 0

0
C R

Choix du paramétrage :
Nous utiliserons les coordonnées cylindriques r, θ et z avec dV=rdrd θ dz
Domaine d’intégration : r varie de 0 à R, z de –H/2 à H/2 et θ de 0 à 2π
Calcul :

C=

H
2π 2 R

∫∫∫ (x² + y²)dm = ρ ∫ ∫ ∫ r .dr.dθ.dz = ρ.2π.H.
3

0

−

H 0
2

R4
M
MR 2 avec ρ = soit C =
2
2
4
π.R .H

∫∫∫ (y² + z²)dm = ∫∫∫ y²dm + ∫∫∫ z²dm = I
= B = ∫∫∫ (x² + z²)dm = ∫∫∫ x²dm + ∫∫∫ z²dm = I
= C = ∫∫∫ (x² + y²)dm = ∫∫∫ x²dm + ∫∫∫ y²dm = I

Iox = A =

Gxz

+ IGxy = B '+ C '

Ioy

Gyz

+ IGxy = A '+ C '

Ioz

Gyz

+ IGxz = A '+ B '

Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le même rôle pour la répartition de la matière. On peut donc
C
C en déduire que A’=B’=C/2 et par conséquent que A = + IGxy = + C '
2
2

IGxy = C ' =

H
2π 2 R

0

D’où : A =

M

H3 R²

∫∫∫ z²dm =ρ ∫ ∫ ∫ z².rdr.dθ.dz = πR²H .2π. 12 . 2
−

H 0
2

=

MH²
12

MR² MH²
+
4
12

Professeur : Franck Besnard
CPGE PSI

1

Chap2 : Eléments d’inertie
EXERCICES de MECANIQUE
La matrice centrale d’inertie du cylindre s’écrit ainsi :

 MR² MH²

0
0 
 4 + 12


MR² MH²


IG (S) = 
0
+
0 
4
12


MR² 

0
0


2 R

2) Déduisez-en la matrice d’inertie au centre de l’une de ses bases.

On peut