[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014

Enoncés

Suites d’intégrales impropres

1

b) Calculer, pour n ∈ N , π/2 Exercice 1
On pose

[ 00682 ]

[correction]

0
+∞

Jn =
0

(on procédera par récurrence)
c) En déduire

dx
(1 + x3 )n+1

+∞

a) Calculer J0 .
b) Former une relation de récurrence engageant Jn et Jn+1 .
c) Etablir qu’il existe A > 0 tel que

0

π/2

ln(2 sin(t/2)) cos(nt) dt
0

Exercice 4
On pose
+∞

un =
0

0

n

t − [t]
1
dt = t(t + n) n 0

[ 03584 ]

[correction]
+∞

t − [t] dt t(t + n)

où [t] représente la partie entière de t.
a) Justifier la bonne définition de la suite (un )n
b) Montrer que pour tout A > 0
A

sin t dt t

d) Etudier la limite puis un équivalent de

A
Jn ∼ √
3
n

Exercice 2 [ 00157 ] [correction]
Pour n ∈ N , on pose

sin(2nt) cos t dt sin t

In =
0

dx pour n ∈ N, n
1 + xn

2

a) Déterminer une suite de fonctions (fn ) telle que
1.

t − [t] dt − t 1

In =
A+n
A

fn (t) dt
0

t − [t] dt t

En déduire une nouvelle expression intégrale de un .
c) On pose vn = nun

b) Déterminer deux réels a et b tels que
In = a +

b
+o
n

1 n quand n → +∞

Montrer la convergence de la série de terme général vn − vn−1 −

1
2n

d) En déduire un équivalent de un .

Exercice 3 [ 02446 ] [correction]
a) Soit f ∈ C 1 ([a, b] , R). Déterminer les limites des suites b b

f (t) sin(nt) dt) et (

( a f (t) cos(nt) dt) a Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Corrections

Corrections

2

Par linéarité de l’intégrale et changement de variable, on obtient
A

Exercice 1 : [énoncé]
La fonction f : x → (1+x13 )n+1 est définie et continue sur [0, +∞[. Puisque
1
f (x) ∼ x3n+3
, la fonction f est intégrable sur [0, +∞[ et l’intégrale Jn x→+∞ converge.
√ .
a) Via une décomposition en éléments simples J0 = 32π
3
+∞
0

0

A
0

ln vn+1 − ln vn = ln

3

=O

1 n2 n

t − [t]
1
dt = t(t + n) n n

t − [t] dt t

0

A+n

t − [t] dt − t A

t − [t] dt t

Puisque
A+n

1
1
1 +