integrale
8954 mots
36 pages
Chapitre VI : calcul intégral1. Calculer les intégrales suivantes (on précisera éventuellement l'intervalle de validité) :
1°)
∫
π
3
5°) ∫
6
9°) ∫
an
0
a
xdx
2 2
3
2°)
x2 +1
sin 3u du
6°)
dx x ln x
( 81 −
∫
0
∫e
2
∫
t. exp(− t 2 )dt
e2
1
1
e
x n −1
1
7°) ∫
01+
( x 3 + 1) ln(x )dx
1
∫1 ( x − x + x 2 )dx
3°)
ln t dt t
e
10°)
)
−2
11°)
1
∫
0
x
dx ( n ∈ N * )
n
( x 2 + x + 1)e − x dx ;
dt
x
4°)
∫−1 1 − t
8°)
∫
12°)
ln(t ) dt t2
e
1
∫
π
0
x 2 sin( x )dx .
1 − e −4
3) e2/2 − 1/e − 1/2
4) ln(2) − ln(1 − x) pour x < 1
2
5) 1/3
6) −3/2 7) (ln2)/n 8) 1 − 2/e
9) ln(n) avec a > 0 et a ≠ 1
8
2
10) (7e + 16e + 17)/16
11) 4 − 8/e
12) π2 − 4
Rep : 1)
3
4
3
3
16
2)
2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes. On précisera dans chaque cas l'intervalle.
2°) f(x) = x.e −x ;
1°) f(x) = ln(x) ;
x2
3°) f(x) =
; x3 +1
1
.
4°) f(x) = tan(x) ;
5°) f(x) = cotan(x) ; 6°) f(x) =
x. ln(x ) π π sin t cos t
3. 1°) Montrer que les intégrales I = ∫0 dt et J = ∫ dt existent.
0 sin t + cos t sin t + cos t
2°) Calculer I + J et I − J. En déduire I et J.
4. Application du changement de variable. Montrer:
∫
-- si f est impaire et continue sur [−a, a], alors
−a
a
f ( t )dt = 0 (a > 0) ; a ∫ f ( t)dt (a > 0) ;
-- si f est périodique de période T est continue sur R, alors ∫ f ( t )dt = ∫ f ( t )dt
Calculer : ∫ x x + 1 dt ; ∫ sin t dt .
-- si f est paire et continue sur [−a, a], alors
3
−3
4
2π
∫
a
−a
f ( t )dt = 2
0
a +T
T
a
0
.
3
0
5. Etudier rapidement f : x x x + 1 + e−x ; préciser les branches infinies ; tracer Cf. Pour a> 0, calculer
l'aire du domaine plan Da = {M(x, y) ; 0 ≤ x ≤ a et x + 1 ≤ y ≤ f(x) }. Déterminer la limite de cette aire quand a tend vers