INSAT 2022/2023
TD - Analyse Numérique
Interpolation polynômiale
IMI3 Feuille d’exercices n◦ : 2
Exercice 1
1. Déterminer les fonctions de base de Lagrange associées à trois points équidistants de [−1, 1].
2. Déterminer les fonctions de base de Newton associées à trois points équidistants de [−1, 1].
3. Déterminer le polynôme p(x), sous deux formes, tel que: p(−1) = 8, p(0) = 3, p(1) = 6.
Exercice 2
On considère les points A0(−2, 3);A1(−1, 1);A2(1, 5);A3(2, 11) et on désigne par Pn le polynôme d’interpolation de Lagrange passant par les points A0, ..., An, (n ∈ {1, 2, 3}).
1. Calculer P1(x) et P2(x).
2. Sans calculer P3(x), montrer que P3(x) …afficher plus de contenu…

1. Calculer les dérivées successives de f .
2. Soit m ∈ N. On pose, xk = −1 +
2
m k pour 1 ≤ k ≤ m.
(a) On note par pm le polynôme d’interpolation de f aux points (xk). Montrer que si |a| > 3, alors lim m→∞ sup −1≤t≤1
|f(t)− pm(t)| = 0.
(b) Soit Πmf le polynôme d’interpolation de f de degrès 1 sur [xk, xk+1] où 0 ≤ k ≤ m− 1.
i. Déterminer l’expression de Πmf(x) sur [xk, xk+1]. ii. Montrer q’il existe C > 0 telle que sup
−1≤t≤1
|f(t)−Πmf(t)| ≤ C m2 . Expliciter C.
Exercice 8
On considère la fonction f(x) = sin( x 3
) pour x ∈ I = [0, 1].
1. SoitΠnf le polynôme interpolant f aux nœuds x0, . . . , xn équidistribués. Estimer l’erreur d’interpolation
En(f) = maxx∈I |f(x)−Πnf(x)| sur l’intervalle I, en fonction du degé n du polynôme et étudier son comportement quand n −→ …afficher plus de contenu…

Trouver le nombre minimal de nœuds équirépartis pour avoir En(f) ≤ 10−4.
3. Déterminer le nombre minimal N d’intervalles uiniformes (de longeur h = 1/N ) pour que le polynôme linéaire par morceaux interpole la fonction par intervalles donne une erreur ≤ 10−5.
Exercice 9
L’espérance de vie dans un pays a évolué dans le temps selon le tableau suivant :
Année 1975 1980 1985 1990
Espérance 72.8 74.2 75.2 76.4
Estimer l’espérance de vie en 1977, 1983 et 1988 à l’aide de l’interpolation de Lagrange. La comparer avec une interpolation linéaire par