intro calcul sto

Pages: 172 (67450 mots) Publié le: 12 mars 2015
Introduction au calcul stochastique
appliqué à la finance
Damien Lamberton

Bernard Lapeyre

Avant-Propos
Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif.
Les premières concernent la correction d’erreurs plus ou moins importantes. L’erreur la plus
sérieuse était une affirmation fausse concernant les intégrales stochastiques (voir le résumé des
propriétésde l’intégrale stochastique à la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et l’exercice 15, qui
nous a été inspiré par Marc YOR).
Nous avons ajouté quelques sujets de problèmes à la fin du chapitre 4. Ces problèmes permettent d’introduire et de traiter divers exemples d’options exotiques.
Nous avons complété la bibliographie de quelques titres récents, en particulier sur le thème
des marchésincomplets, le chapitre 7 ne faisant qu’effleurer le sujet.
Enfin, nous avons récrit les programmes de simulation et d’analyse numérique dans le langage C qui se répand de plus en plus dans les banques.
Nous remercions les collègues qui nous ont signalé des erreurs ou des coquilles. Il en reste
hélas sûrement et nous espérons que les lecteurs de cette nouvelle édition voudront bien nous
les signaler.
DamienLamberton et Bernard Lapeyre.

Table des matières
Introduction
1
Le problème des options . . . . . . . . . . . . . .
2
La notion d’arbitrage et la relation de parité call-put
3
Le modèle de Black-Scholes et ses extensions . . .
4
Plan du livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12

1 Modèles discrets
1
Le formalisme des modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Les actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Les stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3Stratégies admissibles et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Martingales et arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Martingales et transformées de martingales . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Marchés financiers viables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Marchés complets et évaluation des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1Marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Première approche des options américaines . . . . . . . . . . . . . . .
4
Problème corrigé : le modèle de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . .

13
13
13
13
1516
16
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19

2 Problème d’arrêt optimal et options américaines
1
Notion de temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Décomposition des surmartingales . . . . . . . . . . .
4
Enveloppe de Snell et chaînes de Markov . . . . . . .
5
Application aux options américaines . . . . . . . . . .
5.1
Exercice et couverture des optionsaméricaines
5.2
Options américaines et options européennes . .
6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques
1
Généralités sur les processus à temps continu . . . . . . . .
2
Le mouvement brownien .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Intégrale stochastique et calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . .
4.1
Construction de l’intégrale stochastique . . . . . . .
4.2
Calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

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