Introduction aux équations intégrales browniennes

Marie du Roy, Charlotte Perrin sous la direction de Mihai Gradinaru

20 avril 2011

Table des matières
1 Résultats préliminaires, mouvement Brownien
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 Dénition du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés simples du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation de fonctions et conventions . . . . . Construction de l'integrale d'Itô . . . . . . . . . . . Propriétés de l'intégrale d'Itô . . . . . . . . . . . . Extensions de l'intégrale d'Itô à une nouvelle classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4

2 3

2 Dénition de l'intégrale stochastique au sens d'Itô

5 5 8 8

3 Formule d'Itô

Processus d'Itô et formule d'intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule d'Itô en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 12

8

4 Équations diérentielles stochastiques

Théorème d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Dépendance par rapport à la condition initiale . . . . . . . . . 4.2.2 Caractère markovien de la solution d'une équation diérentielle Peut-on survivre sans la condition de Lipschitz ? . . . . . . . . . . . . Stabilité stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Stabilité dans le cadre stochastique . . . . . . . . . . . . . . . .

12

12 16 16 16 18 19 19 21 22 23

5 Le processus