Cours PC Brizeux

Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29

DYNA MIQUE LOCAL E DES FLUI DE S PA RFAIT S

CHAPITRE DF3

Dans ce chapitre, nous allons relier l’écoulement d’un fluide aux actions qu’il subit. Nous privilégions le point de vue eulérien, c’est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant r de champs tels que v (M, t), P(M, t) et ρ(M, t). Nous établirons des relations différentielles ou de conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s’agit bien d’une dynamique locale. Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5 équations pour sa résolution… ! Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l’étude de fluides parfaits où n’intervient donc aucune force de viscosité.

1.

EQUATION D’EULER - APPLICATIONS

1.1.

Expression

Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit le mouvement, on a : r r Dv dm = df Dt r r Dv où représente l'accélération de la particule et d f la résultante des forces subies par l'élément dm. Dt ! ! En privilégiant lar description volumique des forces et en faisant apparaître le rôle spécifique des ! forces de pression, d f s’écrit : r r ! d f = ( fv - grad P) dτ En écrivant dm = ρ dτ, il vient : !
!

r r r r "v ρ[ (v.grad)v + ]= fv - grad P ! ! "t

Cette équation, qui n'est autre que la relation locale de la résultante cinétique, est appelée équation r d'Euler. Une division par ρ fait apparaître les! ! massiques fm et une deuxième forme de l’équation forces ! ! d’Euler. Nous retiendrons :

! r r r r r r r r gradP "v "v ρ[ + (v.grad)v ] = fv - grad P + (v.grad)v = fm " "t "t Equation d’Euler
!

!

! !

-! 29

!

!

!

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1.2.

Equation locale de la statique des fluides

Le cas particulier d’un fluide au repos dans un référentiel R s’obtient très facilement comme un cas