Je veux juste voir une dissert'

Pages: 6 (1303 mots) Publié le: 17 décembre 2012
SUITES NUMERIQUES I. Limite d'une suite définie par son terme général 1. Limite infinie Soit (U n ) la suite définie pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici.

n Un

50

500

1000

5000

10000

12000

Il semble que quel que soitl'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U N >10 8 , il suffit de prendre N = Comme, de plus, la fonction carré est croissante sur ℝ+ , pour tout entier n … , on aura aussi U n … On dit que … au-delà duquel tous les termes de la suite sont … Définition 1 Soit (U n ) une suite réelle. On dit que la suite (U n ) a pour limite +∞ quand ntend vers +∞ lorsque, pour tout entier naturel p , on peut trouver … On note alors

Exemple On reprend l'exemple ci-dessus de U n=n2 Pour tout entier naturel p , pour avoir U n>10 p , c'est à dire n 2>10 p , il suffit de prendre … Pour tout entier naturel p , le plus petit entier N … On a ainsi prouvé que … On admet les résultats suivants : Théorème 1 ( limites de référence ) Pour tout entiernaturel non nul k , on a:

n →+∞

lim nk =

et

n →+∞

lim

√ n=

Exercice 1 Le nuage de points ci-contre représente les 30 premiers termes de la suite (U n ) définie pour tout entier naturel n par U n=3 n 3+5 n 1) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (U n ) ? 2) A l'aide d'un algorithme, déterminer un entier N tel que U N ≥10 6 3) a) Soit f la fonction définie surℝ+ par f (x )=3 x 3+5 x Calculer f ' ( x) et en déduire le sens de variation de f sur ℝ+ b) Après avoir remarqué que, pour tout entier naturel n , U n= f ( n) , utiliser le résultat de la question précédente pour prouver que, pour tout entier n≥N , U n≥106 (où N est le nombre trouvé à la question 2) ) Définition 2 Soit (U n ) une suite réelle. On dit que la suite (U n ) a pour limite – ∞ quand n tendvers +∞ lorsque, pour tout entier naturel p , on peut trouver … On note alors

Remarque 1
n →+∞

lim U n =−∞ si et seulement si lim (−U n)= n →+∞
2. Limite finie

Soit (U n ) la suite définie par tout entier naturel n non nul par U n=3+

1 n

Le nuage de points représentant les 30 premiers termes de la suite (U n ) ainsi qu'un tableau de valeurs de U n pour de « très grandes valeurs »de n sont donnés ici.

n
Un

1000

2000

3000

4000

5000

10000

20000

Les valeurs de U n semblent … D'après ce tableau, on peut conjecturer que, pour que l'écart entre U n et … il suffit que … Il semble que la distance entre U n et … puisse être rendue aussi petite qu'on souhaite, en prenant des valeurs de n … Définition 3 Soit (U n ) une suite numérique et L un nombreréel. On dit que la suite (U n ) a pour limite L quand n tend vers +∞ lorsque, pour tout entier naturel p , on peut trouver … On note alors Remarque 2 Dire que la distance entre U n et L est inférieure à 10− p revient à écrire : … Exemple On reprend l'exemple précédent. On s'intéresse alors à la distance entre U n et 3 , soit … Pour tout entier naturel p , … On a montré que … Donc … Théorème 2 (limites de référence ) Pour tout entier naturel non nul p , on a : Remarque 3 Certaines suites n'ont pas de limites. Par exemple, la suite (U n ) définie pour tout entier naturel n par U n=(−1)n prend … Exercice 2 Le nuage de points ci-contre représente les 25 premiers termes de la suite (U n ) définie pour tout entier naturel n dès que …

lim
n →+∞

1 = p n

4 n2 – 3 2 n 2+4 Il semble que lim Un =
par U n=
n →+∞

1) A l'aide d'un algorithme, déterminer un entier N tel que

∣U N – 2∣≤10−4

2) a) Soit f la fonction définie sur ℝ+ par f (x )=

11 2 2 x +4 Calculer f ' ( x) et en déduire le sens de variation de f sur ℝ+ b) Après avoir remarqué que pour tout n , on a: ∣U n – 2∣= f ( n) ,
utiliser le résultat de la question précédente pour prouver que, pour tout entier n≥N ,...
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