Chapitre 4

I-

1ère S Angles orientés, Trigonométrie

Le cercle trigonométrique :
1.1- Définition





Dans un repère orthonormé O; OI ; OJ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon
OI = 1, orienté dans le sens direct (antihoraire ou trigonométrique).

+

1.2- Repérage d’un point sur un cercle ou abscisse curviligne



Un point M du plan est repéré par son abscisse curviligne α qui est la longueur de l’arc orienté IM. On note M(α ).
Un point du cercle trigonométrique possède une infinité d’abscisses curvilignes. Elles sont toutes de la forme : M(α + 2kπ) avec kϵ .

1.3- le radian
Sur un cercle trigonométrique, la longueur de l’arc orienté IM est égal à la mesure de l’angle géométrique orienté ̂ exprimé en radian.
Exemple : Donner l’abscisse curviligne des points , J, ’, J’, A, B, C et D.

J

C

+

B
A
120°
60°

O

45°

I’

I

30°

D

J’

1.4- Mesure principale


Un point du cercle trigonométrique possède une infinité d’abscisses curvilignes. Elles sont toutes de la forme : M(α + 2kπ) avec kϵ .

La seule valeur de cette série qui soit comprise dans l’intervalle   ;   est la mesure principale de l’abscisse curviligne de M.
17
.
3
17
On sait que la mesure principale est de la forme
 2k (avec kϵ ) et qu’elle doit être dans l’intervalle
3
  ;   . On a donc :

Exercice : Trouver la mesure principale de l’angle

17
 2k  
3
17
 1   2k  1 ( En divisant par  )
3
17
17
 1   2k  1 
3
3
20
14

 2k  
3
3
10
7
 k
3
3
 

9
De plus, on sait que kϵ . Or, le seul entier relatif vérifiant l’encadrement précédent est k    3 .
3
17
17

La mesure principale de l’angle est donc :
 2k 
 2  (3)     .
3
3
3

Propriété : Si α et β sont deux mesures d’une même abscisse curviligne, alors il existe un entier relatif k tel que α = β + 2kπ.
Démonstration : α = x + 2k’π β = x + 2k’’π α – β