La géométrie fractale

Intro
Les mathématiques classiques partent sur le principe que tout est fait à partir de surfaces plates et régulières (cube, pyramide, sphère…) comme l’illustre notre architecture. Les fractales en revanche s’appuient sur la structure de la nature, qui contrairement aux apparences et aux croyances ancestrales est complètement ordonnée. En effet, on constat´e que les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes des cônes, ni les îles des cercles et leur description et explication mathématique nécessite une nouvelle géométrie : la géométrie fractale, par Mandelbrot.

La dimension fractale
Le concept de dimension est très ancien, car c’est Euclide lui-même qui l’a établit depuis 300 ans avant J.-C. Pour lui, un point possède une dimension 1, une figure plane, 2, et on parle de 3 dimensions dans le cas d’un solide comme un cube par exemple. D’ailleurs, on remarque qu’il y a un lien entre la dimension d’un objet et son unité de mesure. Un objet de dimension 2 se mesure en m² et un objet de dimension 3, en m3. A l’origine, elle correspond au nombre de paramètres nécessaires pour décrire une figure ou un objet. Les mathématiciens ont acceptés cette définition de la dimension sans la remettre en question, jusqu’au XXème, notamment pour répondre au problème fractale, dont les objets ne semblent appartenir aucune de ces dimensions. De nombreuses définitions de la dimension ont alors été proposées. Nous en étudierons deux, l’une admettant uniquement des valeurs entières et l’autre, tous les réels.

Dimension topologique
Par définition, Deux objets sont équivalents topologiquement s’il est possible de déformer l’un vers l’autre sans les diviser.
Il existe plusieurs façons de calculer la dimension topologique d’un objet.
Pour cela, on pose que la dimension du vide vaut -1.
Si un objet peut être divisé en un ou plusieurs objets disjoints en enlevant une partie de dimension n la plus petite possible, alors, on dit que l’objet de départ est