‫اﻟﻨﻬـــﺎﻳﺎت‬
‫اﻟﺪرس اﻷول‬ ‫اﻟﺪورة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫01 ﺳﺎﻋﺔ‬

‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﳌﻨﺘﻈﺮﺓ‬ ‫ـ ﺣﺴﺎﺏ ﻬﻧﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳊﺪﻭﺩﻳﺔ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳉﺬﺭﻳﺔ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻼﺟﺬﺭﻳﺔ؛‬ ‫ـ ﺣﺴﺎﺏ ﻬﻧﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻟﺒﺴﻴﻄﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻳﺔ‬
‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻻ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻋﻨﺪ ∞+ أو ﻋﻨﺪ ∞−‬
‫1-‬ ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫3‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺣﻴﺚ ‪f ( x ) = x‬‬

‫1- أرﺳﻢ ‪C f‬‬
‫2- أﺗﻤﻢ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪x‬‬

‫0101-‬

‫001‬

‫0101 -‬

‫21‬

‫0101-‬

‫9‬

‫01 -‬

‫001‬

‫01-‬

‫01‬

‫01‬

‫001‬

‫0101‬

‫9‬

‫0101‬

‫21‬

‫0101‬

‫001‬

‫)‪f ( x‬‬
‫ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺸﻜﻞ و اﻟﺠﺪول‬ ‫ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﻟـ ) ‪ f ( x‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺄﺧﺬ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ أآﺒﺮ ﻓﺄآﺒﺮ و ﻣﻮﺟﺒﺔ أي ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+‬

‫ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﻟـ ) ‪ f ( x‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺄﺧﺬ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ أﺻﻐﺮ ﻓﺄﺻﻐﺮ و ﺳﺎﻟﺒﺔ أي ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞−‬
‫ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺠﺪول و اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺄﺧﺬ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ أآﺒﺮ ﻓﺄآﺒﺮ‬ ‫و ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﺎن ) ‪ f ( x‬ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ أآﺒﺮ ﻓﺄآﺒﺮ و ﻣﻮﺟﺒﺔ وﺗﺆول اﻟﻰ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول‬
‫‪ x‬إﻟﻰ ∞+‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ﻧﻬﺎﻳﺔ ) ‪ f ( x‬هﻲ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+‬
‫∞+→ ‪x‬‬

‫ﻧﻜﺘﺐ ∞+ = ) ‪lim f ( x‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺠﺪول و اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺄﺧﺬ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ أﺻﻐﺮ ﻓﺄﺻﻐﺮ و‬ ‫ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺎن ) ‪ f ( x‬ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ أﺻﻐﺮ ﻓﺄﺻﻐﺮ و ﺳﺎﻟﺒﺔ وﺗﺆول اﻟﻰ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول‬

‫‪ x‬إﻟﻰ ∞−‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ﻧﻬﺎﻳﺔ ) ‪ f ( x‬هﻲ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞−‬
‫∞→ ‪x‬‬

‫ﻧﻜﺘﺐ ∞− = ) ‪lim f ( x‬‬

‫إذا آﺎن ) ‪ f ( x‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ∞+ = ) ‪ lim f ( x‬أو ∞+ = ) ‪lim f ( x‬‬
‫∞+‬
‫∞+→ ‪x‬‬

‫آﺘﺎﺑﺎت و ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل [∞+ ;‪[ a‬‬

‫إذا آﺎن ) ‪ f ( x‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ∞− = ) ‪ lim f ( x‬أو ∞− = ) ‪lim f ( x‬‬
‫∞+‬
‫∞+→ ‪x‬‬

‫و ﺗﻘﺮأ ﻧﻬﺎﻳﺔ ) ‪ f ( x‬هﻲ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+‬ ‫و ﺗﻘﺮأ ﻧﻬﺎﻳﺔ ) ‪ f ( x‬هﻲ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫إذا آﺎن ) ‪ f ( x‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞− ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ∞+ = ) ‪ lim f ( x‬أو ∞+ = ) ‪lim f ( x‬‬
‫∞−‬
‫∞−→ ‪x‬‬

‫] ‪]−∞; a‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‬

‫إذا آﺎن ) ‪ f ( x‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞− ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ∞− = ) ‪ lim f