MA 06

´ ERAL
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CONCOURS GEN
DES LYCEES
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SESSION DE 2006
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COMPOSITION DE MATHEMATIQUES
(Version avec ´ el´ ements de correction)

(Classe terminale S)
´e : 5 heures
Dure
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La calculatrice de poche est autoris´ee, conform´ement `a la r´eglementation.
La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction seront prises en compte dans l’appr´eciation des copies. L’´enonc´e comporte trois exercices ind´ependants.
Il n’est pas obligatoire de traiter les exercices dans l’ordre de l’´enonc´e, `a condition d’indiquer clairement l’exercice et la question trait´ee en respectant l’indexation du texte.
Pour poursuivre la r´esolution d’un exercice, les candidats peuvent admettre les r´esultats d’une question, `a condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Exercice 1
Si n est un entier naturel strictement positif, on note ai ai−1 . . . a1 a0 son ´ecriture d´ecimale. On a donc n = 10i ai + 10i−1 ai−1 + · · · + 10a1 + a0 , les entiers aj , 0 j i, sont compris entre 0 et 9, et ai = 0.
On d´esigne par q un entier compris, au sens large, entre 1 et 9, on pose p = 10q −1 et l’on consid`ere la fonction fq qui `a l’entier n = ai ai−1 . . . a1 a0 associe l’entier fq (n) = ai ai−1 . . . a1 + qa0 (si i = 0, alors fq (n) = qa0 ).
Enfin, l’entier q ´etant fix´e, on associe `a tout entier n la suite (nk ) d´efinie par les relations n0 = n et, pour tout entier naturel k, nk+1 = fq (nk ). Par exemple, si l’on fixe q = 5, la suite associ´ee ` a 4 907 est 4 907, 525, 77, 42, 14, 21, 7, 35, 28, 42, 14,. . .
1. V´erifier que fq (n) =
Corrig´
e succinct 2.

n + pa0
· En d´eduire que fq (p) = p.
10
n − a0 n + pa0
On a fq (n) =
+ qa0 =
·. D’autre part p = (q − 1)9 donc
10
10 p+p×9 fq (p) =
=p
10

(a) Montrer que, si m > p, alors fq (m) < m.
Corrig´
e succinct n + pa0
On a fq (n) = donc pour que n > fq (n), c’est `a dire pour que
10
9n > pa0 , il suffit que n > p, puisque a0 9

(b) En d´eduire que pour tout