Université Paris Ouest Nanterre La Défense U.F.R SEGMI Dynamique économique: analyse des fluctuations Cours de Valérie Mignon

Licence 3 Mention Economie Premier semestre 2010-2011

Maximisation et Minimisation sous contrainte

Rappels sur la méthode d’optimisation du Lagrangien

Le multiplicateur de Lagrange Le multiplicateur de Lagrange est une méthode permettant de trouver les points stationnaires (maximum, minimum...) d’une fonction dérivable d’une ou plusieurs variables, sous contraintes. Visuellement, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver un optimum, sur la figure ci-dessous le point le plus élevé possible, tout en satisfaisant une contrainte, sur la figure un point de la ligne rouge. Le théorème clé se conçoit aisément dans un exemple de dimension 2. Le point recherché est celui où la courbe rouge ni ne monte ni ne descend.

Formellement, on note comme suit l’écriture du Lagrangien : L(x, λ) = ϕ(x) + λψ(x) avec x les variables de contrôle figurant dans la fonction à maximiser ou de minimiser, ϕ(x) est la fonction à optimiser, λ le multiplicateur de Lagrange et ψ(x) la contrainte du programme d’optimisation.

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Le comportement du producteur Pour caractériser le comportement du producteur, l’analyse microéconomique suppose que l’objectif principal de ce dernier consiste à rendre son profit maximal. Le profit étant définit comme la différence entre le chiffre d’affaire et les coûts, il s’écrit mathématiquement : Π(K, L) = pQ(K, L)
Chiffre d’affaire

−wL − rK − f
Coûts

avec p le prix du bien ou service produit, pQ(K, L) le chiffre d’affaire, et −wL − rK − f les coûts et plus exactement wL le coût du travail, rK le coût du capital et f la rémunération de l’ensemble des facteurs fixes de l’entreprise. Rappel : Fonction de production : relation technique qui indique à partir de la quantité de facteurs mis en oeuvre par le producteur et la quantité maximale de produit qu’il peut obtenir. Le comportement du producteur peut alors être