FONCTIONS DÉRIVÉES
I.

Savoir calculer une dérivée :
• Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1

g( x ) =

3 x h( x ) =

• Méthode :
On utilise les formules du calcul des dérivées.

3 x2 k ( x) =

2x + 1 x2 f(x)

f '(x)

f(x)

f '(x)

ax + b axn 1 x a naxn-1 1
− 2 x 1
2 x

u(x) + v(x)
u.v
1 u u v u'(x) + v'(x) u'.v + u.v' u′ − 2 u u′v − uv ′ v2 x

• Solution : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 ⇒ f ′(x ) = 12x 3 + 5
3
3 g( x ) = ⇒ g′( x ) = − 2 x x
3
3(2 x )
6x
h( x ) = 2 ⇒ h′( x ) = − 2 2 ⇒ f ′( x ) = − 4 x x
(x )

2(x 2 ) − (2 x + 1)(2 x )
2x + 1
2x2 − 4x2 − 2x k ( x) =
⇒ k ′( x ) =
⇒ k ′( x ) = x2 x4
(x 2 )2
−2 x 2 − 2 x
−2 x( x + 1)
⇒ k ′( x ) =
⇒ k ′( x ) = x4 x4

II. Établir le tableau de variation d'une fonction avec la dérivée :
• Exemple : Étudier les variations de la fonction définie par f (x ) = x 2 − 2x
• Solution : f ′(x ) = 2x − 2
D'où
f ′(x ) > 0 ⇔ 2x − 2 > 0 ⇔ x > 1 x > 1 ⇒ f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) ↑ x < 1 ⇒ f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) ↓
Comme on a f (1) = −1 on obtient le tableau suivant : x -∞ f ′(x) f (x)

+∞

1
–

0

+∞

4

3

2

1

+
+∞

0
-1

0
-1

-1
-2

FI_DRIV.DOC

1

2

3

III. Déterminer un maximum ou un minimum avec la dérivée :

Coût C(q)

• Exemple : dans une entreprise, le coût de stockage d'une marchandise en fonction de la
90000
quantité q achetée est donné par la formule C (q ) = 400q + pour q ∈ [1;50]. q Quelle est la valeur de q qui rend minimale le coût de la gestion du stock ?
• Solution :
90000
On étudie les variations de la fonction C (q ) = 400q + q 2
2
90000 400q − 90000 q − 225
100000
C′ (q ) = 400 −
=
= 400
2
2
2
q q q
90000
(q + 15)(q − 15)
80000
C′ (q ) = 400
2
q
70000
60000
Donc C′(q ) > 0 ⇔ (q + 15)(q − 15) > 0
50000
Et q > 0 ⇒ C′(q ) > 0 ⇔ q > 15
40000
On obtient le tableau de variations suivant :