CINEMATIQUE (corrigé)

1. Roue de vélo :

a) Décomposons le vecteur position : (1)

On peut projeter le vecteur unitaire radial sur la base cartésienne :

donc : On obtient alors la vitesse par dérivation temporelle (la base cartésienne est invariante) :

on peut aussi procéder directement en dérivant (1) en tenant compte du caractère variable des vecteurs de la base polaire : derdt=θeθ On tire : (2) Ce qui conduit au même résultat, explicité sur la base cartésienne, en employant : Le vecteur vitesse peut aussi s’expliciter complètement dans la base polaire, en partant de (2) et en projetant l’unitaire de la base cartésienne selon : b) il suffit d’écrire que la vitesse du point M va s’annuler quand M passe en I, c'est-à-dire pour θ = 0 modulo , car le support a une vitesse nulle au point de contact I. (On ne veut pas de vitesse relative entre la roue et le support en I). Ceci conduit à : θ==vo/R c) Faire un tracé point par point en prenant des valeurs particulières de θ, à partir de l’expression du vecteur position. On obtient une cycloïde. d) L’accélération s’obtient par une dérivation temporelle du vecteur vitesse : en tenant compte que la vitesse angulaire est constante : θ==vo/R= cste On retrouve l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme. le mouvement de translation du vélo, qui est à vitesse constante, n’introduit pas de terme d’accélération pour M.

2. Accélération subie en mouvement de rotation uniforme. a) avec θ==vo/R= cste λ Numériquement : vo = 1060 km.h-1 = 294,4 m/s donc en norme : = 86,70 m.s-2 (soit 86,70/9,8 ≈ 8,8 g)

b) Le mouvement dans le référentiel géocentrique est circulaire, selon un cercle situé dans le plan orthogonal à l’axe de rotation terrestre, dont la position et le rayon dépendent de la latitude λ.

Le rayon de la trajectoire vaut : R.cosλ où R est le rayon de la