Problème d’optimisation

Par
Bianca Lessard
501

Travail présenté à
MONSIEUR STEVE GERMAIN

Pour le cours de
Mathématique culture société technique

École secondaire Mont-Saint-Sacrement

2012-10-31

Question

Une école secondaire prépare un spectacle bénéfice pour financer le bal de fin d'année. Il y a deux sortes de billets; pour enfants et pour adultes. L'auditorium peut accueillir au plus 700 personnes. Il y a au maximum 250 places pour enfants et au plus 450 places pour adultes car les enfants sont assis par terre et les adultes, sur des chaises. Le nombre d'adultes ne doit pas dépasser le double du nombre d'enfants. Le nombre d'adulte doit être d'au moins 375 et le nombre d'enfants doit être supérieur à 200. Le coût d'un billet pour enfant est de 5 $ et le coût pour un billet d’adulte est de 8 $. De plus, pour dépasser certains objectifs, le nombre de billets pour enfant que l'on vend doit être plus grand ou égal à 30% du nombre de billet total vendu. En respectant les nombreuses contraintes, combien de billets pour enfants et pour adultes devrait-on vendre pour maximiser le profit?

Résolution

1. Variables

x = nombre de billets pour enfants (A) y = nombre de billets pour adultes (B) 2. Inéquations
1. x + y ≤ 700
2. x ≤ 250
3.y ≤ 450
4.y ≤ 2x
5.y ≥ 375
6.x ≥ 200
7. x ≥ 0.3(x+y)
8.x ≥ 0
9.y ≥ 0

3. Fonction à optimiser Z = Ax + By Maximiser Z = 5x + 8y

Inéquations isolées

1.y ≤ −x + 700
2. x ≤ 250
3.y ≤ 450
4.y ≤ 2x
5.y ≥ 375
6.x ≥ 200
7.y ≤ 7/3x
8.y ≥ 0
9. x ≥ 0

4. Graphique

Technique des sommets du polygonne de contrainte

Sommets | Z = 5x + 8y | Total | A(200,450) | Z = 5(200)+8(450) | 4600$ | B(250,450) | Z = 5(250)+8(450) | 4850$ | C(250,375) | Z = 5(250)+8(375) | 4250$ | D(200,375) | Z = 5(200)+8(375) | 4000$ |

Réponse finale : Afin de maximiser les profits, l'école devrait vendre 250 billets pour enfants et 450 billets pour adultes pour obtenir un profit de