Le monde en 2,7 dimensions

« Le Vif, L’Express », 21/01/2005

En creusant une forme, on augmente sa superficie sans modifier son volume.

Du point de vue de la mathématique

Peut-on obtenir une surface infinie dans un volume fini ?
Cette question est à la base du concept mathématique des structures fractales.
Le principe est simple ; observons ce cube :

S’il était plein, sa superficie serait celle des 6 cotés qui le composent. Or, comme illustré sur cette photo, sans faire varier le volume (car on ne déborde pas du cube d’origine), sa superficie ne cesse d’augmenter à force de creuser.

Cette découverte faite par Karl Menger, mathématicien du 20ème siècle, n’a eu au départ d’impact que dans le milieu des mathématiciens qui lui ont trouvé foule de propriétés.
A commencer par sa dimension. En effet, nous connaissons tous des objets à 1 (L.), 2 (L., l.) ou 3 (L., l., H.) dimensions. Mais « l’éponge de Menger », tout comme une feuille de papier froissée ou encore une boulette, serait comprise entre 2 et 3.
Pour être précis, les mathématiciens lui donne une dimension de 2,7.
Début 1970, Benoît Mandelbrot, mathématicien, intègre ces démarches dans la théorie des « fractales » (du latin fractus, brisé).
Les structures fractales sont nombreuses dans notre environnement : la structure en double hélice des brins d’ADN, un nuage, la répartition des galaxies…
D’autre part, ces objets présentent une particularité : leur autosimilarité.
Chaque partie a une structure semblable à celle de l’ensemble, comme si un détail représentait à une plus petite échelle, la totalité. Le chou-fleur en est une bonne illustration.

Du point de vue de la physique

Dans la nature, ces objets à dimensions décimales sont la règles générale. Les physiciens n’ont vu pourtant que très tard les propriétés de ces fractales comme étant utiles à leurs travaux. Ainsi, parmi les travaux de la physique liés aux structures fractales, on trouve : la diffusion de chaleur