Le nombre d'or et la science
I-Définition mathématique du nombre d'or L'un des moyens les plus simples pour arriver au nombre d'or est de se servir de la section dorée d'Euclide qui, dans le livre IV des Elements la définit ainsi :

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit.
Ce qui se traduit par :

a+b b a

Cela signifie que le rapport du grand segment (a+b) sur le moyen segment b est égal au rapport du moyen segment b sur le petit segment a. On peut également traduire cette égalité à travers une équation mathématique : a b b a b = équivaut à 1= b a b a a 1 Soit b l'inconnue x . On a alors x1 = x 1 x= −1 x x² =1− x x² −x −1 =0

On cherche à résoudre ce polynôme de degré 2 : − On calcule d'abord le discriminant :  = b² −4ac =1² − 4×1 ×−1 =14 =5 − On cherche les deux racines de l'équation puisque le discriminant est positif : −b−  1− 5 −b  1 5 x 1= = = et x 2= 2a 2 2a 2 Or, on cherche une longueur, qui est forcément positive. On ne gardera donc comme solution que x 2

Le nombre d'or correspond à cette solution également  .

1  5 ≃1,618033 ... . On le note 2

II-Propriétés mathématiques du nombre d'or A-Les différentes écritures 1-Fraction continue Reprenons la formule de  sous sa forme de polynôme 2−−1=0 . L'écriture 2=1 découle de cette équation, puis =1 
=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ...
1

Ainsi on peut écrire 2-Racine continue

D'autre part, avec 2=1 , on peut également écrire = 1 , toujours en gardant la solution positive de l'équation. Ainsi = 1 1 1 1   … 3-Puissances Nous avons vu que 2=1 , ce que nous pouvons remplacer pour le calcul de 3
3=2×=1×=2=1=2 1



Nous pouvons également remplacer 3 par 2 1 dans le calcul de la puissance suivante :
4=3×=2 1 ×=2 2=2 1 =3 2 5=4×=3 2 ×=3 22 =3 1 2