Que vaut le nombre d’or ?

Le nombre d’or est égal à , on le note ; il est l'une des deux solutions de l’équation x² - x - 1 = 0 ; la deuxième solution de l'équation étant égale à , c'est-à-dire à - 1 / .

Le nombre d'or a une propriété bien particulière :Chaque puissance est la somme des deux précédentes :

² = + 1 ; = 2 + 1 ; = 3 + 1 ; = 5 + 3 ....

Quand est apparu pour la première fois ce nombre d’or ?

Au IIIe siècle avant JC , Euclide écrivait dans « Eléments » : « Couper une droite donnée de telle sorte que le rectangle contenu par la droite soit égal au carré sur le segment restant ». Mais il ne nomme pas ce rapport .

Euclide partage une portion de droite AC en " extrême et moyenne raison " : il cherche le point B tel que , autrement dit que x² - x - 1 = 0 avec les notations du dessin ci-dessous .

L'une des deux solutions de cette équation est bien x =

D’où vient la notation ?

La lettre grecque est l’initiale de Phidias , sculpteur grec , qui décora au Ve siècle avant JC le Parthénon d’Athènes .

Qu’est-ce que le rectangle d’or ?

Un rectangle est appelé rectangle d’or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or .

ABCD est un carré de côté l ; E est le milieu de [AB].

On trace un arc de cercle de centre E et de rayon CE ; il coupe (AB) en F.

On construit alors G tel que ADGF soit un rectangle.

ADGF est un rectangle d’or .

Démonstration :

Montrons que .

AB = l donc EB = .

En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ECB rectangle en B , on calcule EC :

EC = l donc EF = l

Finalement , .

ADGF est donc bien un rectangle d’or

Comment construire le nombre d’or ?

Il suffit d’appliquer la construction du rectangle d’or avec AB = 1 .Le segment [AF] a alors pour longueur le nombre d’or .

Le nombre d’or dans la nature

& La pyramide de Khéops : le rapport