CORRECTION DU DEVOIR MAISON N° 8
Suites Pour le 13 février 2008

Exercice donné au BAC, lors de la session de juin 2002, en Asie

1) Janvier 2002 Rang du mois Recette Coûts Bénéfice 0 2300 800 1500 Février 2002 1 2323 820 1503 Mars 2002 2 2346,23 840,5 1505,73

1  2,5    • Février 2002 : 2300 ×  1 +  = 2323 ; 800 ×  1 +  = 820 ;  100   100  1  2,5    • Mars 2002 : 2323 ×  1 +  = 2346,23 ; 820 ×  1 +  = 840,5 ;  100   100  2346,23 − 8405 = 1505,73 .

2323 − 820 = 1503 .

1   2) a) Comme la recette augmente de 1 % tous les mois, alors Rn +1 = Rn ×  1 +  = 1,01 Rn ,  100  pour tout entier naturel n. On en déduit que la suite ( Rn ) est une suite géométrique de raison 1,01. Par conséquent, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × (1,01) = 2300 × (1,01) . n n

2,5   Comme les coûts augmentent de 2,5 % tous les mois, alors Cn +1 = Cn ×  1 +  = 1,025 Cn ,  100  pour tout entier naturel n. On en déduit que la suite (Cn ) est une suite géométrique de raison 1,025 . Par conséquent, pour tout entier naturel n, Cn = C0 × (1,025 ) = 800 × (1,025 ) . n n

b) On en déduit que :
Bn = Rn − Cn = 2300 × (1,01) − 800 × ( 1,025 ) , pour tout entier naturel n. n n

3) a) Soit n un entier naturel.
Bn +1 − Bn = 2300 (1,01) Bn +1 − Bn Bn +1 − Bn

Bn +1 − Bn

( = ( 2300 (1,01) = 2300 ( (1,01) = 2300 ( (1,01)

n +1 n +1

n +1

n

) − ( 2300 (1,01) − 800 (1,025) ) − 2300 (1,01) ) − ( 800 (1,025 ) − 800 (1,025 ) ) − (1,01) ) − 800 ( (1,025 ) − (1,025 ) ) × (1,01) − (1,01) ) − 800 ( (1,025 ) × (1,025 ) − (1,025 ) )
− 800 (1,025 ) n +1 n n n n +1 n n n +1 n

n

n

n

-1C. Lainé

Bn +1 − Bn = 2300 (1,01)

n

( 1,01 − 1) − 800 (1,025 ) ( 1,025 − 1) n n n

Par conséquent, pour tout entier naturel n, Bn + 1 − Bn = 23 ( 1,01) − 20 (1,025 ) . b) 23 (1,01) − 20 (1,025 ) > 0 ⇔ 23 (1,01) > 20 (1,025 ) n n n n

23 (1,01) − 20 (1,025 ) > 0 ⇔ 23 > 20 n n

23 (1,01) − 20 (1,025 ) > 0 ⇔ n n

23 20

(1,025 ) n