TRANSFORMÉE DE LAPLACE

I) Définition :

1) Introduction :

Soit un système physique dans lequel nous avons une grandeur d'entrée x(t), la réponse du système étant la grandeur de sortie y(t). L'objectif que l'on se fixe est : connaissant x(t) il nous faut trouver la réponse y(t). Le système est régi par une équation différentielle qui est parfois difficile, compliquée à résoudre même pour des signaux d'entrée classiques.

La transformée de Laplace est une fonction qui permet de faciliter certaines résolutions : On cherche la transformée X(p) de x(t) La transformée de y(t) est alors donnée par : [pic]. H(p) étant une fonction obtenue simplement à partir de l'équation différentielle, donc caractéristique du système. On l'appelle fonction de transfert du système. Ayant Y(p), on trouve y(t) au moyen de la transformée de Laplace inverse.

Le chapitre se divise donc en trois parties : Apprendre à calculer la transformée de Laplace d'une fonction Apprendre à calculer la transformée de Laplace inverse Apprendre à trouver la fonction de transfert d'un système.

La transformée de Laplace n'est qu'un moyen mathématique de simplifier certains calculs La variable p qui y figure n'a pas de signification. On peut imposer des conditions sur p puisque la transformée n'est qu'un intermédiaire de calcul.

2) Echelon unité :

C'est la fonction souvent notée U définie par :[pic]
[pic]
Echelon retardé : Soit la fonction f définie par [pic] alors [pic] si [pic] soit [pic] et [pic] si [pic] soit [pic]

La fonction f est la fonction échelon unité retardée avec un retard de 3.

[pic]

3) Remarque :

Lorsque l'on multiple une fonction par [pic] cela revient à l'annuler pour [pic] et à ne pas la changer pour [pic].

[pic] [pic]

4) Fonction causale :

Une fonction causale est une fonction égale à 0 pour [pic]

5) Transformée de Laplace d'une fonction :

La transformée de Laplace d'une fonction f est définie