Le trebuchet

Pages: 9 (2168 mots) Publié le: 20 mars 2013
Mécanique du trébuchet
Idriss Ammara TCH098 Projet multidisciplinaire École de Technologie Supérieure Montréal, Canada idriss.ammara@etsmtl.ca 23 janvier 2008
Résumé Le trébuchet est une catapulte médiévale dont l’énergie provient de la chute d’un contrepoids. Récemment un engouement nouveau pour cette machine a resurgi avec la construction de nombreux modèles. Toutefois, en général, lesnouveaux constructeurs de trébuchets réalisent leurs designs à partir de règles du pouce ou sur la base d’essais empiriques plûtot qu’à partir des modèles physiques fiables[1]. Ce document décrit un modèle mathématique de trébuchet réalisé à partir des équations de Newton et solutionné dans l’environement Simulink de MatLab. C’est sur la base de ce modèle que vous ferez la conception de votre trébuchetpour la compétition.

F IG . 1 – Modèle réel de trébuchet.

F IG . 2 – Représentation du trébuchet.

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Description et nomenclature du trébuchet

Le type de trébuchet modélisé dans le cours est constituté d’une poutre en rotation sur laquelle sont fixés deux pendules, le premier est relié au projectile et l’autre au contrepoids. Cette configuration correspond au trébuchet françaisdéveloppé au XIIième siècle. Les figures 1 et 2 présentent respectivement un exemple de trébuchet réel et sa représentation dans notre modèle. Dans tous les diagrammes des corps libres (DCL) de ce document, la couleur bleue est associée à la description de la géométrique du trébuchet(cotes). La couleur rouge correspond à des vecteurs de position et la couleur verte à des vecteurs de force. Également, parconvention, les symboles en lettres majuscules correspondent à des vecteurs et ceux en lettres minuscules à des scalaires. Les symboles suivants décrivent les divers paramètres du trébuchet : mp : masse du projectile [kg] mcw : masse du contrepoids [kg] mt : masse du trébuchet(sans contrepoids) [kg] mb : masse de la poutre en rotation [kg] I : second moment d’inertie de la poutre par rapport aucentre de rotation [kg · m2 ] r1 : largeur de la base du trébuchet [m] r2 : longueur du bras de projection (distance du centre de rotation au pendule de projection) [m] r3 : longueur du pendule de projection [m] r4 : longueur du bras de contrepoids [m] r5 : longueur du pendule de contrepoids [m] r6 : hauteur de l’axe de rotation par rapport au sol [m] rcg : distance entre le centre de gravité et lecentre de rotation de la poutre [m] θ2 : position angulaire de la poutre par rapport à l’axe x [rad] θ3 : position angulaire du pendule de projection par rapport à l’axe x [rad] θ5 : position angulaire du pendule de contrepoids par rapport à l’axe x [rad] ˙2 ω2 = θ : vitesse angulaire de la poutre par rapport à l’axe x [rad/s] ω3 = θ˙3 : vitesse angulaire du pendule de projection par rapport à l’axex [rad/s] ω5 = θ˙5 : vitesse angulaire du pendule de contrepoids par rapport à l’axe x [rad/s] ¨ α2 = θ2 : accélération angulaire de la poutre par rapport à l’axe x [rad/s2 ] ¨ α3 = θ3 : accélération angulaire du pendule de projection par rapport à l’axe x [rad/s2 ] ¨ α5 = θ5 : accélération angulaire du pendule de contrepoids par rapport à l’axe x [rad/s2 ] g : accélération gravitationnelle ;g=9.81 [m/s2 ] d : distance parcourue par le projectile[m] : efficacité énergétique d’un trébuchet

2 Fonctionnement du trébuchet
Avant d’entreprendre toute modélisation, il est important d’avoir une bonne compréhension du fonctionnement du trébuchet afin d’être capable d’établir des limites à ses performances. La figure 3 présente des clichés d’un trébuchet en fonctionnement pris à des intervales detemps constants. Le trébuchet est en fait un double pendule sur balancier et possède 3 degrés de liberté. D’un point de vue élémentaire, le trébuchet peut être considéré comme un mécanisme « boîte noire »qui convertit une fraction de l’énergie potentielle gravitationnelle du contrepoids en énergie cinétique du projectile tel que présenté à la figure 4. L’énergie potentielle du contrepoids...
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