Les biens
Dénombrements
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 IT
2k 2k+1 ou encore démontrer direc1. (***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité ∑ Cn = ∑ Cn tement qu’un ensemble à n éléments contient autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair. k−1 k 2. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité kCn = nCn−1 . n k 3. (****) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité C2n = ∑n (Cn )2 . k=0
Correction
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Exercice 2 *** Combien y a-t-il de partitions d’un ensemble à pq éléments en p classes ayant chacune q éléments ? (Si E est un ensemble à pq éléments et si A1 ,..., A p sont p parties de E, A1 ,..., A p forment une partition de E si et seulement si tout élément de E est dans une et une seule des parties Ai . Il revient au même de dire que la réunion des Ai est E et que les Ai sont deux à deux disjoints.)
Correction
[005279]
Exercice 3 *** Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers xi ≥ 0 de l’équation k x1 + x2 + ... + xn = k (k entier naturel donné) est Cn+k−1 . (Noter an,k le nombre de solutions et procéder par récurrence.)
Correction
[005280]
Exercice 4 * Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres où 0 figure une fois et une seule ?
Correction
[005281]
Exercice 5 ***I Quelle est la probabilité pn pour que dans un groupe de n personnes choisies au hasard, deux personnes au moins aient le même anniversaire (on considèrera que l’année a toujours 365 jours, tous équiprobables). Montrer que 1 pour n ≥ 23, on a pn ≥ 2 .
Correction
[005282]
Exercice 6 *** Montrer que le premier de l’an tombe plus souvent un dimanche qu’un samedi.
Correction
[005283]
Exercice 7 **I 1
On part du point de coordonnées (0, 0) pour rejoindre le point de