Correction devoir n°4
Exercice n°1
1. a

b. D'après la loi des probabilités totales :

(

)

( )

p ( B ) = p ( A Ç B ) + p A Ç B = p ( A) pA ( B ) + p A pA ( B ) = 1 ´ 1 + 5 ´ 2 = 1 + 1 = 1 + 8 = 9 = 3 .
6 4 6 5 24 3 24 24 24 8
Il y a donc bien trois chances sur huit d'obtenir une boule noire.
1
1 3 1
c. D'après le calcul précédent, p ( A Ç B ) =
, de plus p ( A ) ´ p ( B ) = ´ = .
24
6 8 16
Comme p ( A) ´ p ( B ) ¹ p ( A Ç B ) , les évènements A et B ne sont pas indépendants.
1
p ( A Ç B ) 24 1 8 1
=
= ´ = .
d. pB ( A ) =
3 24 3 9 p( B )
8
Sachant que la boule tirée est noire, il y a une chance sur neuf d'avoir obtenu 1 avec le dé.
2.
a. On constate que l'on répète une épreuve de Bernoulli ( en considérant comme succès : une partie gagnée) 5 fois de suite de façon indépendante et identique ( on remet les boules après chaque partie ). Il s'agit donc d'un schéma de æ 3ö
Bernoulli et comme la variable aléatoire X dénombre les succès, X suit une loi Binomiale B ç 5; ÷ . è 8ø
3
5 -3 æ 5ö 3
3
La probabilité de gagner exactement trois parties est égale à : p ( X = 3) = ç ÷çæ ö÷ æç1 - ö÷ ; 0,206 . è 3øè 8 ø è 8 ø
b.
Gagner au moins N parties correspond à p ( X ³ N ) = 1 - p ( X < N ) donc on obtient le tableau suivant : k 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p ( X ³ k ) 0,9909 0,9367 0,789 0,5533 0,3037 0,1275 0,0384 0,0078 0,001 0,001
A partir de ce tableau, on peut conclure que la valeur cherchée est N=7.

Exercice n°1
Partie A
1°)
n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

vn 2,286 2,8 3,077 3,25 3,368 3,455 3,52 3,571 3,613
2°) La suite semble croissante et convergente vers 4.
3°) a/ Soit Pn la propriété 0 < vn < 4
Initialisation : v0 = 1 et 0 < 1 < 4 donc P0 est vraie.
Hérédité :
On suppose 0 < vn < 4 donc -4 < -vn < 0 par multiplication par -1 qui est négatif.
1
1
1
16
16
16
1
ainsi 8 - 4 < 8 - vn < 8 , par conséquent, <
< soit
<
< donc 2 <
0, on obtient 0 < vn+1 < 4 .