- Chapitre 2 Les matrices carr´es e
Table des mati`res e
1 Produit et puissance des matrices 1.1 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . ee 1.2 Puissances d’une matrice carr´e . e 1.3 La formule du binˆme de Newton o 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 carr´es e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 4 5 5 6

matrices carr´es inversibles e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recherche pratique de la matrice inverse . Propri´t´s des matrices carr´es inversibles ee e

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1

1
1.1

Produit et puissance des matrices carr´es e
Propri´t´s e e
Nous avons d´fini le produit de deux matrices dans le chapitre pr´c´dent. e e e Dans ce paragraphe nous allons nous int´resser au produit de deux matrices carr´es d’ordre n. e e Il est clair que le produit de deux matrices d’ordre n sera une matrice d’ordre n : on dit que la multiplication matricielle est une loi interne dans l’ensemble Mn (R).

Proposition 1 Nous avons les propri´t´s suivantes : ee – ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N.P ) = (M.N ).P (associativit´ de la multiplication matricielle) ; e – ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N + P ) = (M.N ) + (M.P ) (la multiplication est distributive par rapport a l’addition) ; ` – ∀M ∈ Mn (R) on a : M.In = In .M = M (la matrice unit´ In est ´l´ment neutre pour la e ee multiplication matricielle). Preuve. Ces r´sultats ont ´t´ vus dans le chapitre pr´c´dent. e ee e e Remarque 1 Il faut bien noter que la multiplication matricielle n’est pas commutative : cela signifie que si M et N sont deux ´l´ments de Mn (R)