Introduction aux outils d’analyse quantitative.

Chapitre I : Les matrices.

Exemple d’introduction :

Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux.

On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison.

Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51

Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons : 2x + 3y = 33

4x+y=512x+3y=33

y=51-4x2x+3(51-4x)=33

x=12 eurosy=3 euros

On note A et B les matrices de ce système :

A = 4 12 3 X = xy

B = 5133

AX = B

* 4 12 3xy=5133

I) Matrices.

1) Définition.

A est une matrice de format (n ;p). A est un tableau à n lignes et p colonne, avec des éléments réels aij.

A appartient à Mnp, ensemble de matrices (n ;p).

Anp A2,2 = 4 12 3 a1,1 = 4 ; a2,1 = 2

Définition : égalité entre deux matrices A et B. A et B appartiennent à M (même format).

A = B aij = bij

2) Opérations matricielles.

a) Addition de deux matrices

A et B appartenant à M. C est la somme de A et B donc C = A + B

Exemple :

A2,3 = 4 1 02 4 -12 B2,3 = -1 2 4 0 &1,5 2

C = A + B = 3 3 42 4,5 -10

b) Multiplication d’une matrice par un réel.

Soient A appartenant à M et k appartenant à R on obtient une matrice D = k.A

D appartient à M

Exemple :

A = 2 45 6

K= 3

* D = 3A = 6 1215 18

C = 2A + 3B C = 4 1119 18
Propriété des additions : * Commutativité : A + B = B + A * Associativité : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
Elément neutre : La matrice nulle « 0 », ne contient que des 0.

c) Produit de deux matrices

Soit A de format (n,p) et B de format (p,q), le produit de A par B est noté AB = C

C = AB appartenant à M

A = 2 34 01 1 B = 2 13 4 donc C = 28 1420 4-1 -3

3)