TD de maths

Niveau:MP

2009-2010

Normes subordonn´es e
Exercice 1 : Soient E, F deux Kespaces vectoriels norm´s r´els et f : E → F une application. e e 1. On suppose que K = R et f est born´e sur la boule unit´ de E telle que : e e ∀(x, y) ∈ E 2 : f (x + y) = f (x) + f (y) Montrer que f est une application lin´aire continue sur E e 2. On suppose que f est lin´aire v´rifiant : e e (f (xn ))n∈N est born´e dans F pour toute suite (xn )n∈N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s e soit u ∈ lC (E, F ) on pose |||u||| = sup ||u(x)||F
||x|| 1

Montrer que |||u||| = inf{k

0, ∀x ∈ E, ||u(x)|F

k||x||E }

Exercice 3 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s tel que F est complet e Soit (un ) une suite de cauchy dans lC (E, F ) muni de la norme |||.||||subordonn´e aux normes ||.||E et ||.||F e 1. Montrer que pour tout x ∈ E la suite (un (x) est convergente dans F On note pour chaque x ∈ E, u(x) = lim un (x) n→+∞ 2. V´rifier que u est une application lin´aire e e 3. Montrer que u est continue 4. Montrer que 5. Conclure Exercice 4 : Soit φ: n→+∞ lim |||un − u||| = 0

Rn [X] → Rn [X] P (X) → P (X + n)

on munit Rn [X] de la norme||.||1 d´finie par : e n n

∀P ∈ Rn [X]tel que P = i=0 ai X i : ||P ||1 = i=0 |ai |

Montrer que φ est continue et calculer sa norme subordonn´e e Exercice 5 : On note E = c∞ ([0, +∞[, R) et D l’endomorphisme de E de d´rivation : D(f ) = f . e Montrer qu’il n’existe aucune norme sur E pour laquelle D soit continu Exercice 6 : ∗ Soit E = {(un )n∈N∗ ∈ RN / lim un = 0} muni de la norme ||.|| : n+∞ ∀u = (un )n∈N∗ ∈ E, ||u|| = sup |un | n∈N∗ E→R et l’application φ : (un )n∈N∗ → un 2n n=1 1 CPGE - Mohammedia
+∞

MOHAMED SAHROURDI

TD de maths

Niveau:MP

2009-2010

1. V´rifier que φ une forme lin´aire continue et calculer sa norme subordonn´e e e e 2. Montrer que |||φ||| n’est pas