Les series entières

Pages: 13 (3147 mots) Publié le: 24 janvier 2013
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2011/2012

Chapitre 12 : Séries entières

1

Chapitre 12 – Séries entières

1
1.1

Définition et convergence
Série entière

Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque– 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle

1.2

Lemme d’Abel
Lemme d’Abel —

Théorème 1.1 Soit
n

n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (anz0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |, la série numérique an z n est absolument convergente.

Démonstration —
n 1. Pour tout z ∈ C : |an z n | = |an z0 |

z z0

n

=O z z0
n

z z0

n

. |an z n | converge également : la série an z n

2. Si |z| < |z0 |, la série géométrique est absolument convergente.converge, donc la série

1.3

Rayon de convergence
an z n une série entière. L’ensemble des réels positifs r tels que la suite (an rn ) soit bornée est un intervalle

Soit

contenant 0. Définition 1.2 — On appelle rayon de convergence de la série entière an z n la borne supérieure (dans R) de cet intervalle :

R = sup{r ∈ R+ , (an rn ) bornée}.

• Si R = 0, quel que soit z non nul, (an z n )n’est pas bornée : la série converge que pour z = 0. Exemple 1.1 –

an z n est grossièrement divergente. Elle ne

nn z n est grossièrement divergente pour tout z ∈ C∗ .

• Si R = +∞ : la suite (an rn ) est bornée pour tout r ∈ R+ . Pour tout complexe z, il existe r ∈ R+ tel que |z| < r : la série an z n est absolument convergente pour tout z ∈ C. Exemple 1.2 – bornée. zn zn est absolumentconvergente pour tout z ∈ C, car la suite ( ) converge vers 0, et est donc n! n!

2

• Si 0 < R < +∞ :

⊲ Pour tout z ∈ C tel que |z| < R, il existe un réel r strictement compris entre |z| et R tel que la suite (an rn ) soit bornée : la série an z n est absolument convergente. an z n est grossièrement divergente.

⊲ Pour tout z ∈ C tel que |z| > R, la suite (an z n ) n’est pas bornée : lasérie ⊲ Pour |z| = R, on ne peut rien dire a priori de la série ou divergente (grossièrement ou non). Définition 1.3 —

an z n : elle peut être convergente (absolument ou non),

Le disque ouvert de centre O de rayon R est appelé disque de convergence ; l’intervalle ] − R, R[ est appelé intervalle de convergence. ⋆ ⋆ ⋆ à l’intérieur du disque de convergence, la série converge absolument ; àl’extérieur du disque de convergence, la série diverge grossièrement ; sur le cercle de convergence, on ne peut généralement rien dire.

Cependant, deux résultats ne dépendent que du module : * si la série converge absolument en un point du cercle, elle converge absolument sur tout le cercle ; * si la série diverge grossièrement en un point du cercle, elle diverge grossièrement sur tout le cercle.

–Remarque – Soit an z n une série entière et R son rayon de convergence. 1. Si la série 2. Si la série 3. Si la série an z n converge pour z = z0 , alors R an z n diverge pour z = z1 alors R
n

|z0 |. |z1 |. |z0 |. |z1 |.

4. Si la suite (an z n ) est bornée pour z = z0 , alors R
n

an z converge non absolument pour z = z2 , alors R = |z2 |.

5. Si la suite (an z ) ne converge pas vers 0pour z = z1 , alors R

6. Si la suite (an z n ) est bornée mais ne converge pas vers 0 pour z = z2 , alors R = |z2 |. Exemple 1.3 – zn 1. est semi-convergente pour z = −1 : son rayon de convergence est R = 1. Elle diverge pour z = 1. n n z zn 2. converge absolument pour z = 1 : son rayon de convergence R est supérieur ou égal à 1 ; la suite ( 2 ) ne n2 n converge pas vers 0 dès que |z| >...
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