Eric DAINI – Lycée Paul Cézanne – Aix en Provence © http://labotp.org

TP Phys n° 10
Objectifs

RESOLUTION D'UNE EQUATION DIFFERENTIELLE PAR LA METHODE D'EULER
- Mettre en œuvre la méthode d'Euler pour déterminer une solution numérique d'une équation différentielle. - Trouver le modèle le plus pertinent pour déterminer l'expression d’une force de frottement fluide.

I. EXPERIENCE

• Une bille d'acier tombe verticalement dans de l'huile (voir photo). Une chronophotographie de l'expérience et un pointage Aviméca ont permis d'obtenir le graphe v(t) ci-contre. • La vitesse limite vlim et le temps caractéristique τ de la chute sont rappelés sur le graphe. • Les caractéristiques de la bille d'acier sont : - Masse : m = 4,08 g; Diamètre : d = 10 mm; Volume V. -3 - Masse volumique de la bille : ρ = 7 796 kg.m -3 - Masse volumique de l'huile : ρh = 920 kg.m . -2 - Intensité de la pesanteur: g = 9,80 m.s II. MODELISATION DE LA CHUTE

vlim

vlim(exp) = 0,94 m.s τexp = 0,085 s τ

-1

• Selon le type de force de frottement que l'on considère, l'équation différentielle du mouvement sur la vitesse s'écrit :
Cas n° 1: f = k 1.v

dv + A1 v = B dt avec A1 =

(1)

Cas n° : 2

f = k 2.v

2

dv + A2v2 = B dt

(2)

k1 k ρ   B = g 1 − h  et A2 = 2 ρ  m m  1) Calculer la valeur de la constante B avec 3 chiffres significatifs. 2) La détermination expérimentale de la valeur de la vitesse limite vlim permet de calculer selon les modèles la valeur de A1 ou A2. Calculer, à partir des équations différentielles, les valeurs de A1 et A2 avec 3 chiffres significatifs. 3) Écrire l'expression numérique des deux équations différentielles, en remplaçant A1, A2 et B par leur valeur.
III. RESOLUTION NUMERIQUE D'UNE EQUATION DIFFERENTIELLE SELON LA METHODE D'EULER 1) La méthode d'Euler

• Principe : pour des intervalles de temps ∆t "petits" on peut faire l'approximation suivante: a(t) =

soit : v(t+∆t) = v(t) + a(t) × ∆t. ∆t est appelé pas d’itération de la