Lfsr
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Registre à décalage à rétroaction linéaireLe registre à décalage à rétroaction linéaire
Le registre à décalage à rétroaction linéaire constitue l’élément de base des générateurs pseudo-aléatoires utilisés pour la génération de la suite chiffrante.
Définition 1 Un registre à décalage à rétroaction linéaire binaire de longueur
L est composé d’un registre à décalage contenant une suite de L bits (s i , . . . , s i +L−1) et d’une fonction de rétroaction linéaire.
On l’appelle aussi par son acronyme anglais:
LFSR (Linear Feedback Shift Register)
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Fonctionnement d’un LFSR binaire de longueur L
A chaque top d’horloge, le bit de poids faible s i constitue la sortie du registre, et les autres sont décalés vers la droite ; le nouveau bit s i +L placé dans la cellule de poids fort du registre est donné par une fonction linéaire :
s i +L = c1 s i +L−1 + c2 s i +L−2 + · · · + cL−1 s i +1 + cL s i où les coefficients c i sont binaires.
Figure 1 : Registre à décalage à rétroaction linéaire de longueur L .
Définition 2 Les bits (s 0 , . . . , s L−1 ) qui déterminent entièrement la suite produite constituent l’état initial du registre.
La suite (s n )n≥0 produite par un LFSR de longueur L est donc une suite a récurrence linéaire homogène d’ordre L . Inversement, ce type de suite peut toujours être produite par un LFSR.
On peut remarquer qu’une telle suite est ultimement périodique, c’est-à-dire qu’il existe une pré-période n 0 telle que la suite (s n )n≥n 0 est périodique. Proposition 1 La suite s est ultimement périodique, de période
T ≤ 2L − 1
(i.e. il existe un entier i 0 tel que s i = s i +T pour tout i ≥ i 0 ). Si, de plus, c L = 1, la suite s est périodique (i.e. s i = s i +T pour tout i ≥ 0).
Démonstration –
Notons R i = (s i , s i +1 , . . . , s i +L−1 ) le i -ème registre. Celui-ci détermine complètement les registres ultérieurs. Ce